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核磁共振技术（NMR）
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主题：【讨论】tcxuefeng读书笔记——自旋系综的热平衡密度算符及脉冲演化

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tcxuefeng
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发表于：2012/09/01 18:54:45 楼主 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
        密度算符的引入将我们对自旋的研究从个体延伸到了整体，但如果不知道整体在初始时刻所处的状态这一延伸依然无法进行。通常而言，我们将大量自旋核在外磁场下的热平衡密度算符作为系综研究的初始状态。
        在平衡状态下自旋系综的密度矩阵满足如下关系：

        方程一告诉我们平衡状态下密度矩阵的非对角元(相干)为0；方程二给出了矩阵对角元(populations)所遵循的Boltzmann分布，其中，T为温度。
        对于1/2核而言,。由于，对于常见500M核磁而言,，而在室温下，，两者能量相差4个数量级，因此即使在超导磁体产生的强磁场下，自旋核Zeeman能级的差距远远小于分子运动的热能，平均10000个自旋只有2个处在能级较低的α态上。下图显然夸大了这一现象。

        为了简化方程，我们定义Boltzmann因子，则

        由于Boltzmann因子是一个接近于0的数，因此下列近似成立

        两者之和为2，代入方程可得
       
        最终我们得到平衡状态下1/2自旋系综的密度矩阵为
即
        上述推导基于静止坐标系，我们只需要做一个简单的变化

        则
其中为旋转坐标系下的密度矩阵。
        从而发现在旋转坐标系下密度矩阵的populations不变，仍然符合
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2012/9/1 19:15:48 沙发 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
        在得到了系综初始状态时的密度矩阵以及解出了脉冲作用下的自旋薛定谔方程后，我们可以着手研究脉冲作用下系综的状态变化
      前面已经提到

        对这个方程稍加变形可以得到

      两式相乘得到
即
      还记得之前提到的cycle commutation吗，这里便正式登场了。下面让我们演示一下这个方程的作用。假设系综处于平衡状态


    在施加了(π/2)x相位90度脉冲之后


    事实上，这里我们并不需要写出各个算符的矩阵形式并且一一相乘。由于自旋角动量之间存在着的关系，这一关系满足如下规律
    从而即
    更直观地，我们可以用下图来表示这一脉冲作用对宏观磁化矢量的作用过程。

    在密度矩阵中，这一变化等同于

    即原先的populations差异消失，而矩阵的非对角元相干出现！
    同样地，在(π)x脉冲后，我们发现

    即



此时密度矩阵



的形式暗示了我们这一180度脉冲只是将能级翻转，而没有产生任何相干。

终于，在经过了冗长的推导之后，我们得以用最为简单的方法来描述脉冲作用对系综密度矩阵及宏观磁化矢量的影响。
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xy89
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2013/12/4 22:52:00 板凳 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
我是一个核磁的初学者，今天看了Spin dynamics然后看了您的前面的所有讲解，豁然开朗，非常感谢您！！！！！接下来我看书的同时也会对照您的讲解，希望会有更多的收获，谢谢您！
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