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核磁共振技术（NMR）
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主题：【讨论】tcxuefeng读书笔记——AX自旋系统下的汉密尔顿

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tcxuefeng
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发表于：2012/09/08 11:39:47 楼主 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
    让我们再进一步。

    假设自旋核之间存在着耦合作用，那么大量这样的自旋核所表现出来的自旋系统该如何描述？——为了简化问题，我们从最常见的AX自旋系统入手。在这一系统中，每一个分子由两个1/2核I1和I2组成，I1和I2的化学位移之差远大于两者耦合值，在这样的弱耦合均匀溶液体系中，某一自旋对AX汉密尔顿如下



    如前所述，我们可以进一步得到如下方程



    其中



    对于某一个1/2核组成的AX自旋分子，其状态



    只要满足



    则可以将这一核所处的状态用如下矩阵描述



    而当有大量这样的分子时，我们和之前一样采用密度算符来对系统进行描述，定义

 


    于是我们得到



    这里，密度矩阵同样满足对角元相加为1以及相干之间彼此复共轭的特性。



    这里简单提一下AX系统中相干的分类。我们可以看到在矩阵各项ρ的下角标中有α,β,+,-四项。其中α,β我们定义为0，+为+1而-为-1，而我们平时所描述的“-1量子相干”或者“0量子相干”指的就是将ρ的下角标相加后所得的值：如ρα-为-1量子相干而ραβ为0量子相干。在通常的核磁实验中，只有-1量子相干能被直接观测到。
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2012/9/8 11:47:43 沙发 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
    前面仅是在笛卡尔坐标系下的汉密尔顿，为了便于计算，我们需要将其转化为旋转坐标系下的形式。



    此时，旋转算符表示为



    其中



    之后的推导完全等同于“tcxuefeng读书笔记——旋转坐标系下的汉密尔顿算符”帖子，这里就不再冗述。最终我们得到旋转坐标系下的AX系统汉密尔顿为



    其中


    ω1为核I1的lamor频率，ω2为核I2的lamor频率, ωref为人为给定的参考频率。

    由于算符I1z和I2z均可以用矩阵形式表示，代入后我们得到


    其中
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