2 作图法
在研究两个物理量之间的关系时,把测得的一系列相互对应的数据及变化的情况用曲线表示出来,这就是作图法。
一.作图法的优点
1. 能够形象、直观、简便地显示出物理量的相互关系以及函数的极值、拐点、突变或周期性等特征。
2. 具有取平均的效果。因为每个数据都存在测量不确定度,所以曲线不可能通过每一个测量点。但对于曲线,测量点时靠近和匀称分布,故曲线具有多次测量取平均的效果。
3. 有助于发现测量中的个别错误数据。 虽然曲线不可能通过所有的数据点,但不在曲线上的点都应是靠近曲线才合理。如果某一个点离曲线明显的远了,说明这个数据错了,要分析产生错误的原因,必要时可重新测量或剔除该测量点的数据。
4. 作图法时一种基本的数据处理方法,不仅可以用于分析物理量之间的关系,求经验公式,还可以求物理量的值。但受图纸大小的限制,一般只有3~4位有效数字,且连线具有较大的主观性。所以用作图法求值时,一般不再计算不确定度。
在报告实验结果时,一条正确的曲线往往胜过百个文字的描述,它能使实验中各物理量间的关系一目了然,所以只要有可能,实验结果就要用曲线表达出来。
二.作图规则
1. 列表 按列表规则,将作图的有关数据列成完整的表格,注意名称、符号及有效数字的规范使用。
2. 选择坐标纸 作图必须用坐标纸。根据物理量的函数关系选择合适的坐标纸,最常用的是直角坐标纸,此外还有对数坐标纸、半对数坐标纸、极坐标纸等。本节以直角坐标为例介绍作图法,其他坐标可参考本节原则进行。
坐标纸的大小要根据测量数据的有效位数和实验结果的要求来决定,原则是以不损失实验数据的有效数字和能包括全部实验点作为最低要求,即坐标纸的最小分格与实验数据的最后一位准确数字相当。在某些情况下例入数据的有效位太少使得图形太小,还要适当放大以便与观察,同时也有利于避免由于作图而引入附加的误差;若有效位数多,又不宜把该轴取得过长,则应适当牺牲有效位,以求纵横比适度。
3. 标出坐标轴的名称和标度 通常的横轴代表自变量,纵轴代表因变量,在坐标轴上表明所代表物理量的名称(或符号)和单位,标注方法与表的栏头相同,即量的符号(可用汉字)除以单位的符号。横轴和纵轴的标度比例可以不同,其交点的标度值不一定是零。选择原点的标度值来调整图形的位置,使曲线不偏于坐标的一边或一角;选择适当的分度比例来调整图形的大小。使图形充满纸。分度比例要便于换算和描点,例如,不要用4个格代表1(单位)或用1格代表3(单位)一般取1,2,5,10……标度值按整数等间距(间隔不要太稀或太密,以便于读数)标在坐标纸上。
3. 描点和连线
根据测量数据,用削尖的铅笔在坐标图纸上用“+”或“x”标出各测量点,使各测量数据坐落在“+”或“x”的交叉点上。同一图上的不同曲线应当用不同的符号,如“x”、“+”、“☉”、“△”、“□”等。
用透明的直尺或曲线板把数据点连成直线或光滑曲线。连线应反映出两物理量关系的变化趋势,而不应强求通过每一个数据点,但应使在曲线两旁的点有较匀称的分布,使曲线有取平均的作用。用曲线板连线的要领是:看准四个点,连中间两点间的曲线,依次后移,完成整个曲线。
5. 在图上空旷位置,写出完整的图名、绘制人姓名及绘制日期,所标文字应当用仿宋体。
三、 求直线的斜率和截距
直线时,其方程具有形式y=b0 + b1x。只要求出斜率b1和截距b0,就可以得到关于物理量x,y的经验公式。在许多实验中也通过求斜率或截距来求得物理量。
例2.测定有一固定转轴的刚体的转动惯量J,该刚体受到动力矩M和阻力矩Mμ的作用,根据转动定律M - Mμ =Jβ,写成M =Mμ + Jβ,设阻力矩为常量,这就是一个直线方程。改变动力矩M,测得一系列相应的角加速度β,作M-β曲线,求出斜率和截距,就得到了转动惯量和阻力矩。
1. 求斜率
直线方程 y=b0 + b1x
(1)
在曲线上取p1(x1,y2)和p2(x2,y2)两点代入(1)式,即可求得斜率。求斜率时要注意:
(1)p1、p2必须是直线上的点,且不可取测量点;
(2)p1、p2在测量范围以内,且相距尽量远;
(3)p1、p2用不同于作图描点的符号标出,例如用△或□,标上字母符号p1或p2及坐标值。读数和计算时注意正确使用有效数字;
(4)在实验报告上写出计算斜率的完整过程。
2. 求截距
截距b0是对应于x=0的y值。在曲线上另取一点p3(x3,y3),将x3、y3的值和(1)式,代入直线方程,求得
如果作图时x轴标度从零开始,截距b0也可以从图上直接读出。