混沌的发现是由许多人(多得在此无法一一列举)作出的。它 的出现,是由3个相互独立的进展汇合而成的。第一个是科学注重 点的变化,从简单模式(如重复的循环)趋向更复杂的模式。第二个 是计算机,它使得我们能够容易和迅速地找到动力学方程的近似 解。第三个是关于动力学的数学新观点— 几何观点而非数值观 点。第一个进展提供了动力,第二个进展提供了技术,第三个进展 则提供了认识。
动力学的几何化发端于大约100年前。法国数学家昂利·庞 加莱(Henri Poincare)是一个独立独行的人(如果有的话),但他非 常杰出,以致他的许多观点几乎一夜之间就成了正统的观点,当时 他发明了相空间概念,这是一个虚构的数学空间,表示给定动力学 系统所有可能的运动。为了举一个非力学的例子,让我们来考虑猎 食生态系统的群体动力学。此系统中捕食者是猪,被捕食者是块菌 (一种味道奇特、辛辣的真菌)。我们关注的变量是两个群体的规模 ——猪的数目和块菌的数目(两者都相对于某个参考值,如100 万)。这一选择实际上使得两个变量连续,即取带小数位的实数值, 而不取整数值。例如,假如猪的参考数目是100万,则17439头猪 相当于值0.017439。现在,块菌的自然增长依赖于有多少块菌以及 猪吃块菌的速率:猪的增长依赖于猪的头数以及猪吃的块菌数目。 于是每个变量的变化率都依赖于这两个变量,我们可把注意力转 向群体动力学的微分方程组。我不把方程列出来,因为在这里关键 不是方程,而是你用方程干什么。
这些方程原则上确定任何初始群体值将如何随时间而变化。 例如,假使我们从17439头猪和788444株块菌开始,则你对猪变 量引入初始值0.017439,对块菌变量引入初始值0.788444,方程 会含蓄地告诉你这些数将如何变化。困难的是使这种含蓄变得清 晰:求解方程。但在什么意义上求解方程呢? 经典数学家的自然反 应是寻找一个公式,这个公式精确地告诉我们猪头数和块菌株数 在任何时刻将是多少。不幸的是,此种“显式解”太罕见,几乎不值 得费力去寻找它们,除非方程具有很特殊的、受限制的形式。另一 个办法是在计算机上求近似解,但那只能告诉我们这些特定韧始 值将发生什么变化,以及我们最想知道的许多不同的初始值将发 生什么变化。
庞加莱的思想是画一幅图,这幅图显示所有初始值所发生的 情况。系统的状态--在某一时刻两个群体的规模——可以表示 成平面上的点,用坐标的方法即可表示。例如,我们可能用横坐标 代表猪头数,用纵坐标代表块菌株数。上述初始状态对应于横坐标 是0.017439、纵坐标是0.788444的点。现在让时间流逝。坐标按 照微分方程表达的规则从一个时刻变到下一个时刻,于是对应点 运动。依动点划出一条曲线;那条曲线是整个系统未来状态的直观 表述。事实上,通过观察这条曲线,不用搞清楚坐标的实际数值,你 就可以“看出”重要的动力学特征。
例如,如果这曲线闭合成环,则两个群体遵从周期性循环,不 断重复同样一些值 就像跑道上的赛车每一圈都经过同一个旁 观者那样。假如曲线趋近某个特定点并停在那,则群体稳定到一个 定态,它们在此都不发生变化——就像耗尽了燃料的赛车。由于幸 运的巧合,循环和定态具有重要的生态意义—特别是,它们给群 体规模设置了上限和下限。所以肉眼最易看出的这些特征确实是 实际事物的特征。并且,许多不相关的细节可以被忽略——例如, 不必描述其精确形状,我们就可以看出存在一种闭合环(它代表两 个群体循环的合成“波形”)。