主题：测量不确定度初学者指南测量及测量不确定度

测量不确定度初学者指南关于数字集合的基本统计学（二）
 
3． 关于数字集合的基本统计学
3．1 "测量再而三，只为一剪子"…操作误差
工匠中间有一种说法，"测量再而三，只为一剪子"。这意思是说，在着手工作以前通过两、三次核对测量，你就能减少工作中出错的风险。
事实上，任何测量至少进行三次是明智的做法。若测量只进行一次，就意味着出错可能完完全被忽视了。如果你做两次测量而两者并不一致，你仍然不会知道哪一个是"错"的。但如果你做三次测量，切有两次彼此一致，而且第三个差很多，那么你就能怀疑这第三个测量结果。
所以，仅仅为了防止出大错，或叫操作误差，对任何测量至少进行三次就是明智的。但是测量不确定度实际上并不是操作误差。这是有对重复测量多次的其他重要理由。 3．2基本统计计算
从你的测量重，通过取多次读数并进行某些基本统计计算，你就能增加你所得到的信息量。有两项最主要的统计计算，就是要求的一组数值的平均值或算术平均值，以及它们的标准偏差。
3．3获得最佳估计值--取多次读数的平均值
虽然重复测量给出不同结果，但你也许并没有做错什么。这可能是由于进行的测量有自然变化。（例如：若你在野外测量风速，常常不会有稳定的值。）或者，也可能因为你的测量器具没有工作在完全稳定状态。（例如：卷尺可能因拉紧情况不同而给出不同结果。）
如果在重复读数时读数有变化，那么最好多次读数并取平均值。平均值给你的是"真值"的估计值。平均值和算术平均值通常是在符号上方加一短杠来表示，例如？（#x短杠）就是x的平均值。图以表示一组量值及其平均值图解说明。例1则说明如何计算算术平均值。



图1"圆点图"说明一组实例值并标出了平均值
3．4你应该对多少次读数求平均
一般说来，你用的测量值越多，那么你得到的"真"值的估计值就越好。理想的估计值应当无穷多数值集来求得平均值。但增加读数要做额外的工作，而且会产?quot;缩小回报"的效果。什么是合理的次数呢？10次是普遍选择的，因为这能是计算容易。采取20次只比10次给出稍好的估计值，采用50次只比20次稍好。根据经验通常取4至10次读数就够了。
3．5分散范围…标准偏差
在重复测量给出了不同结果时，我们就要了解这些读数分散范围有多宽。量值的分散范围告诉了我们关于测量不确定度的情况。通过了解这种分散范围有多大，我们就能着手判断这次测量或者组测量的质量如何。
有时候我们知道了最大值和最小值之间的范围就够了。但是对一组少量的值，这就不可能给出关于最大值和最小值之间读数分散性的有用信息。例如，一个很大的分布范围可能会由于单次读数而与其他读数差很多。
对分散范围定量的常见形式是标准偏差。一个数集的标准偏差告诉我们各个读数代表性的与该组读数平均值差多少。
根据"经验"，全部读数大概有三分之二会落在平均值的加、减（±）一倍标准偏差范围内。大概有全部读数的95%会落在两倍标准偏差范围内。虽然这种"尺度"决非普遍适用，但应用广泛。对标准偏差的"真"值只能从一组非常大量（无穷多）的读数来求得。从适度个数的量值能够求得的只是标准偏差的估计值。3．6计算估计的标准偏差
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例2表明如何计算标准偏差的估计值
例2计算一组数值的估计的标准偏差
单用笔和纸来算标准偏差是不方便的，但下例可以手算。例如你有一组n次的读数（让我们用于上例同样的10次一组）
先求平均值：
该组读数如前例所泳：16、19、18、16、17、19、20、15、17、13，平均值为17。
下一步求每个读数与平均值之差，即 -1、+2、+1、-1、0、+2、+3、-2、0、-4。
对上面的数求平方值，即 1、2、1、1、0、4、9、4、0、16
再下一步，求和并除以n-1（本例n为10，n-1为9）。即

估计的标准偏差与通过对上面总数取平方跟求得，即s=4.441/2=2.1
（修约到小数点后一位）

测量不确定度初学者指南误差和不确定度来自何处？（三）
 
4.误差和不确定度来自何处？
许多事物都会暗暗损及测量。测量中的缺陷可能看的见，也可能看不见。由于实际的测量决不会是在完美的条件下进行的，误差和不确定度可能来自下述多方面：
测量仪器（器具）--仪器可能遇到的误差包括：偏移，由于老化、磨损或其他多种漂移而变化，读数不清晰，噪声（对电子仪器），以及其他许多问题。
被测物--被测物可能不稳定。（设想在温暖的房间内试图测量立方冰块的尺寸）。
测量程序--测量本身就很难进行。例如要测小的活体动物的重量要得到对象的配合就显得特别难。
目测对值是操作者的技巧。观测者的移动会是目标好像在移动。当有指针读取标尺时，这类"视差误差"就会发生。
"引入的"不确定度--你的仪器校准就有了不确定度，然后这就成为你做测量的不确定度中的一部分。（但要记住不做校准的不确定度会更加糟）。
操作者的技巧--有些测量要靠操作者的技巧和判断。在精细调整测量工作方面，或在用眼睛读取精细得分度方面，有的人可能会比别的人做的更好。有的仪器的使用，如秒表，有赖于操作者的反应时间。（但是，犯粗大错误是另外的事，这并不是造成不确定度的原因）
采样问题--你做的测量必须完全代表你想要评估的工序特点。如果你想要知道工作台的温度，就不能用放置在靠近空调出口墙上的温度计去测量。如果你要在生产线上选区样品去测量，就不要总是取周一早上制造的头10件产品。
环境--温度、气压、湿度及许多其他环境条件都可能影响测量仪器或被测物。
在知道误差大小和效果的场合（如从校准证书得知），就可对测量结果做修正。但一般来说，每一个从上述来源和其他来源的不确定度都是贡献给测量总不确定度的单个"输入分量"。

测量不确定度初学者指南任何测量中的不确定度一般类型（四）
  5.任何测量中的不确定度一般类型
5． 1随机的或系统的
在测量中产生不确定度的效应有两类：
随即效应--重复测量给出随机的不同结果。如果是这样的话，那么你就做更多次测量，然后取平均值，通常你就可期望得到较佳估计值。
系统效应--对重复测量的每一次结果都有相同的影响（但是你可能分辨不出来）。在这种情况下，只是靠重复测量你得不到额外的信息。要估计系统效应产生的不确定度，就需要另外的一些方法，如不同的测量方法，或不同的计算方法。
5．2分布--误差的"形状"
一组数值的散布会取不同形式，或称概率分布。
5．2．1正态分布
在一组读数中，往往靠近平均值的读数值大体上比离平均值较远的要多。这就是正态分布或称高斯分布的特征。例如你对一大群男人检查多人身高，你就会看到这种分布，大部分人接近平均高度，极高或级矮的只是少数。
图2所示为一组接近正态分布的10个"随机"值。


图三所示为正态分布的示意图。
5．2．2均匀分布或矩形分布
当测量值非常平均的散布在最大值和最小值之间时，这就产生了矩形分布或称均匀分别。例如，你检查雨点落在一根细而直的电话线上的情况，就会看到这种分布。雨点落在任何部分的情况差不多都与其他部分一样。


图4表示一组接近矩形分布的10个"随机"值。图5所示为矩形分布的示意图。
5．2．3其他分布
分布还会有其他形状，但较少见，例如三角分布、M形分布（双峰分布）、倾斜分布（不对称分布）等等。
5．3什么不是测量不确定度
操作人员失误就不是不确定度。这一类都不应计入对不确定度的贡献。这些都应通过仔细工作并检查工作来避免发生。
允差不是不确定度。允差是对工艺或产品所选定的允许级限值。（参见下文第10节，关于对技术规范的符合性）
技术条件不是不确定度。技术条件告诉的是对产品你可以期望什么。技术条件可能又很宽的范围，包?quot;非技术"的质量项目，比如它的外观。（参见下文第10节）
准确度（或者不如叫不准确度）同样不是不确定度。遗憾的是这些词的使用常被混淆。确切的说，"准确度"是一个定性的术语（如你可能说，测量是"准确"的或"不准确"的）。不确定度则是个定量的术语。当引用了"±"符号时，就可称其为不确定度，但不会是准确度。
误差同样不是不确定度（虽然过去在词组中两词替换实用是很普遍的，像"误差分析"）。参见前面在2.3节中的论述。
统计分析同样不是不确定度。统计学可以用来得出各类结论，而这些结论本身并不告知我们任何关于不确定度的什么。不确定度分析只是统计学的一种应用。

测量不确定度初学者指南如何计算不确定度及做不确定度计算前应该知道的一些事（五）
  6．如何计算不确定度
要计算测量不确定度，首先必须识别测量中的不确定度来源。然后你必须估计出每个来
源的不确定度大小。最后把各个不确定度合成以给出总不确定度。
有一些明确规则用于评定各项不确定度的贡献，及如何将它们合成在一起。
6． 1估计不确定度的两种方法
无论你的不确定度来源是什么，总有两种方法来估计他们："A类"评定和"B类"评
定。对大部分测量情况，这两类不确定度评定都是需要的。
A类评定--用统计方法的不确定度估计（通常根据重复读数）。
B类评定--根据任何其他信息的不确定度估计。这信息可能来自过去的测量经验，来自校准证书，来自生产厂的技术说明书，来自计算，来自出版物的信息，根据常识等等。
有一种迷惑的说法，认为"A类"是"随机"的，而"B类"是"系统"的，但这并不是必然正确的。
如何使用来自A类评定和B类评定的信息，将在后面阐述。
6．2评不确定度的八个主要步骤
评定测量总不确定度的主要步骤如下：
----------------------------------------------------------------------------------------------------1． 确定你从测量需要的出什么。为产生最终结果，要决定需要什么样的实际测量和计算。
2． 实施所需要的测量。
3． 估计供给最终结果的各输入量的不确定度。要以相同的条件表示所有的不确定度。（参见7.1节）
4． 确定各输入量的误差是否彼此不相关。如果你认为有相关的，那就需要某些额外的计算和信息。（参见7.3节中的相关性）
5． 计算你的测量结果（包括像校准等事的已知修正值）
6． 根据所有各个方面情况求合成标准不确定度。（参见7.2节）
7． 用包含因子（参见7.4节），与不确定度范围的大小一起，表述不确定度，并说明置信概率。
8． 写下测量结果和不确定度，并说明你是如何得到它们的。（参加8节）
----------------------------------------------------------------------------------------------------
这是总的概要程序。在第9节内给出了实施这些步骤地一个例子。

7． 你做不确定度计算前应该知道的其他一些事
不确定度分量在它们合成之前必须要以相同条件表示。这样，就必须要在同样置信概率
下，以同样的单位给出所有不确定度。
7． 1标准不确定度
所有有贡献的不确定度，都应以相同的置信概率并将它们换算称标准不确定度来表示。
标准不确定度是可以认为其大小为"正负一倍标准偏差"的范围。标准不确定度告知了我们关于平均值的不确定度（不只是各个值的分散度）。标准不确定度通常用符号u（小写u）或u（y）（y的标准不确定度）来表示。
7．1．1对A类评定计算标准不确定度
当取了一组若干个重复读数（对A类不确定度估计），则对该组值可计算出平均值，以及估计的标准偏差s。据此，对平均值的估计的标准不确定度u按下式计算：

u=s/√n
式中，n是该组值的测量次数。（平均值的标准不确定度在历史上也曾称作平均值的标准偏差，或平均值的标准误差。）
7．1．2对B类评定计算标准不确定度
在信息比较欠缺的场合（在某些B类估计中），你也许只能估计不确定度的上限和下限。然后你可能不得不假定每个值都以相同可能性落在上、下限之间的任何地方，也就是矩形分布或者均匀分布。对矩形分布的标准不确定度由下式来求：
a /√3
式中a是上下限与下限之间的半区间（或者称半宽度）。
矩形分布或均晕分布的出现是十分常见的，但是如果你有充分理由认为是某个其它分布，那么你就应该分布做计算。例如，你可以假设从测量仪器的校准证书中"引入"的不确定度是正态分布。
7．1．3把不确定度从一个单位换算称其它单位
在各不确定度分量合成以前，它们必须是相同单位的。常言道，你不能"拿苹果与梨比"。
例如，做长度测量，最终还是用长度来表述测量不确定度。有一项不确定度来源可能是室温的变化。虽然这项不确定度的来源是温度，但效应是用长度来表示的，并必须用长度单位来计算它。你要是知道对被测材料温度每升高一度就膨胀0.1%。在这样情况下，对一根100cm长的材料，如果温度的不确定度为2摄氏度，长度的不确定度就是±0.2cm。一旦标准不确定度都用一致的单位表示，就可用下述技巧之一来求合成不确定度。
7．2合成标准不确定度
由A类或B类评定所计算的的多个标准不确定度可以用"平方和法"（众所周知的"方和根法"）有效地进行合成。这样合成的结果成为合成标准不确定度，用uc和uc（y）表示。
在用加减法就得到测量结果的场合，平方和法是最简便的。下文还将涉及测量值的乘除关系和其它函数关系方面的较复杂的情况。
7．2．1对加、减关系的平方和法
测量结果是一些列被测量值之和（或相加或相减）的情况是最简单的。举例来说，你可能需要求得由不同宽度围墙壁围成围墙的总长度。如果每块围墙壁长度的标准不确定度（以米为单位）由a、b、c等等给定，那么就可通过对多不确定度乘方，再将它们加在一起，然后对总和取平方跟，来求得总围墙的合成标准不确定度（以米为单位）。即
合成不确定度=
7．2．2对乘、除关系的平方和法
对有的较复杂情况，用相对不确定度或分数表示的不确定度来简化计算工作可能是有效的。
例如，你可能需要对一块矩形地毯通过其长度L乘以宽度W来求得它的面积A（即A=L X W）。地毯面积的相对不确定度或分数不确定度可以根据长度和宽度的分数不确定度求得。对具有不确定度u（L）的长度L，相对不确定度为u（L）/L。对宽度W，则相对不确定度为u（W）/W。那么面积的相对不确定度u（A）/A由下式给出：



对由三个因素相乘得到测量结果的情况，式（5）就由三个这样的平方项，依此类推。对于测量结果是两个值的商（即一个数除以另一个书，如长度除以宽度）的情况，也能用这个公式（完全相同形式）。换句话说，这种公式形式包容了所有乘或除的情况。
7．2．3对更复杂函数的平方和法
在最终测量结果的计算中对某值乘方（如Z2）的场合，那么对乘方分量的相对不确定度用下式表示：



对测量结果的部分计算是平方根（如？）的地方，那么对该分量的相对不确定度用下式表示：



当然，有些测量是用由加、减、乘、除等等复合形式的关系式来处理的。例如：你可能测量的是电阻R和电压V，然后用下列关系式计算形成功率P的结果：



在这种情况下，功率值的相对不确定度u（P）/P由下式给出：



一般而言，对多步的计算，也可以每一步采用加法、乘法等相应的形式，分多部队标准不确定度乘方合成处理。对复杂公式的标准不确定度合成在其它文献中有更完整的讨论（例如UKAS出版物M3003）。
7．3相关性
在以上7.2节中用来计算合成标准不确定度的关系式，如果输入量的标准不确定度都不是相互有关系或者说不相关，那才是正确的。这意味着我们通常必须要问是否所有的不确定度分量都是独立的。一个输入量的大误差会造成另一输入量的大误差吗？某些外界的影响，如温度，会同是对不确定度的几个方面有明显的相似影响吗？通常多个误差都是独立的。但如果他们不独立，那么就需要做额外的计算。这些就不在本"初学者指南"中详述了，但可在16节中所列的某些阅读材料中找到。
7．4包含因子k
为了求得合成标准不确定度，同意的换算了不确定度分量，然后我们还会要在换算测量结果。合成标准不确定度可被看作相当于"一倍的标准偏差"，但我们还会希望具有在另外置信概率下，（如95%）表述的总不确定度。可以用包含因子k来做这种再估计。用包含因子k乘以合成标准不确定度uC所给出的结果称为扩展不确定度，通常用符号U表示，即


包含因子的特定值就给出了对扩展不确定度的特定置信概率。
最常见到，我们是用包含因子k=2来估计总不确定度，给出的置信概率约为95%。（如果合成标准不确定度是正态分布，那么k=2是正确的。通常这是一种合理假定，但对它的推论其它出处有解释，参见16节所列资料）
几个其它包含因子（对正态分布）为：
k=1 置信概率约为68%
k=2. 58 置信概率约为99%
k=3 置信概率约为99.7%
其它不常见的分布形状具有不同的包含因子。
反之，凡是引用了具有给定包含因子的扩展不确定度的地方，你就可用反向程序求得标准不确定度，即除以相应的包含因子。（这是求得合成标准不确定度的基础，如7.1.1和7.1.2节所示）这个意思是说，从校准证书上给出扩展不确定度如果表述正确，那么就可"解"出标准不确定度。

测量不确定度初学者指南如何表述测量答案举例说明不确定度的基本算法（六）
  8．如何表述测量答案
表述测量答案是重要的，以便阅读者可以使用这个信息。要注意的主要事项有：


●测量结果要与不确定度值一起表述，例如"棍子长度为20cm±1cm"。
●对包含因子和置信概率作说明。推荐的说法为："报告的不确定度是根据标准不确定度乘以包含因子k=2，提供的置信概率约为95%"。
●不确定度是如何估计的（你可以参考有阐述此法的出版物，如UKAS出版物M3003）。

9． 举例--不确定度的基本算法
以下举的是一个简单的不确定度分析例子。例子太详细并不显示，不过这意思是说简单有清晰的例子足以说明方法了。首先是阐述测量和不确定度分析。其次吧不确定度分析表示在一张表格上（"填表模省?"或"不确定度汇总表"）
9． 1测量--一根绳子有多长？
假定你要仔细估计一根绳子的长度，按照6.2节所列步骤，过程如下。
---------------------------------------------------------------------------------------------------
例3计算一根绳子长度的不确定度
步骤一：确定你从你的测量中需要得到的是什么，为产生最终结果，要决定需要什么样
的实际测量和计算。你要测量长度而使卷尺。除了在卷尺上的实际长度读数外，你也许有必要考虑：


● 卷尺的可能误差

◇ 卷尺是否需要修正或者是否有了表明其正确读数的校准
◇ 那么校准的不确定度是多少？
◇ 卷尺易于拉长吗？
◇ 可能因弯曲而使其缩短吗？从它校准以来，它会改变多少？
◇ 分辨力是多少？即卷尺上得分度值是多少？（如mm）

● 由于被测对象的可能误差

◇ 绳子伸直了吗？欠直还是过直？
◇ 通常的温度或湿度（或任何其它因素）会影响其实际长度吗？
◇ 绳的两端是界限清晰的，还是两端是破损的？

● 由于测量过程和测量人员的可能误差

◇ 绳的起始端玉娟尺的起始端你能对的有多齐？
◇ 卷尺能放的与绳子完全平行吗？
◇ 测量如何能重复？
◇ 你还能想到其它问题吗？
步骤2：实施所需要的测量。你实施并纪录你的长度测量。为了格外充分，你进行重复测量总计10次，每一次都重新对准卷尺（实际上也许并不十分合理）。让我们假设你计算的平均值为5.017米，估计的标准不确定度为0.0021m（即2.1mm）。

对于仔细测量你还可以记录：

◇ 你在什么时间测量的
◇ 你是如何测的，如沿着地面还是竖直的，卷尺反向测量与否，以及你如何使卷尺对准绳子的其它详细情况
◇ 你使用的是哪一个卷尺
◇ 环境条件（如果你认为会影响你测量结果的那些条件）
◇ 其它可能相关的事项

步骤3：估计供给最终结果的各输入量的不确定度。以同类项（标准不确定度）表述所有的不确定度。你要检查所有的不确定度可能来源，并估计其每一项大小。假定是这样的情况：

◇ 卷尺已校准过。虽然它没有修正必要，但校准不确定度是读数的0.1%，包含因子k=2（对正态分布）。在此情况下，5.017m的0.1%接近5mm。再除以2就给出标准不确定度(k=2)为u=2.55mm。
◇ 卷尺上得分度值为毫米。靠近分度线的读数给出的误差不大于±0.5mm。我们可以取其为均匀分布的不确定度（真值读数可能处在1mm间隔内的任何地方--即±0.5mm）。为求的标准不确定度u，我们将半宽（0.5mm）除以根号3，得到近似值u=0.3mm。
◇ 卷尺处于伸直状态，假定绳子不可避免地有一点点弯。所以测量很可能偏低估计绳子的长度。假定偏低估计约为0.2%。这就是说，我们应该用加上0.2%（即10mm）来修正测量结果。由于缺少更合适的信息，就假设不确定度是均匀分布。用不确定的半宽（10mm）除以根号3，得出标准不确定度u=5.8mm(取到最接近的0.1mm)。
以上是全部B类评定，下面是A类评定。
◇ 标准偏差告诉我们的是卷尺位置可重复到什么程度，及其对平均值的不确定度贡献了多少。10次读数平均值的估计的标准偏差用3.6节的公式来求：



让我们假定在本例中不需要考虑其它不确定度了。（实际上，很可能需要计入其它一些问题）。

步骤4：确定各输入量的误差是否彼此不相关。（如果你认为有相关的，那么就需要某些额外的计算和信息）按本例情况，我们就说输入量都不相关。

步骤5：计算你的测量结果（包括对校准等事项的已知修正值）。改测量结构取自平均读数值，加上卷尺放的稍歪的必要修正值，即
5.017m+0.010m=5.027m

步骤6：根据所有各个方面情况求合成标准不确定度。求测量结果所用的唯一计算是加修正值，所以能以最简单的方式采用平房和法（7.2.1节所采用的公式）。标准不确定度被合成如下： 合成标准不确定度=


步骤7：用包含因子（参见7.4节），与不确定度范围的大小一起，表述不确定度。并说明置信概率。对包含因子k=2，就用2乘以合成标准不确定度，则给出扩展不确定度为12.8mm（即0.0128m）。这赋予的置信概率约为95%。

步骤8：记下测量结果和不确定度，并说明你是如何得到它们的。你可以记述如下：
"绳子的长度为5.027m±0.013m。报告的扩展不确定度是根据标准不确定度乘以包含因子k=2得出的，提供的置信概率约为95%。"
"报告的长度是对水平放置的绳子做10次重复测量的平均值。估计了测量时绳子放置不完全直的影响，而对测量结果作了修正。不确定度是按《测量不确定度初学者指南》的方法估算的?
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9．2不确定度的分析--数据表格模式
为了有助于计算过程，按下表1填表方式总结不确定度分析或称"不确定度汇总表"。
表1表示成"不确定度汇总表"的数据表格模式

不确定度来源 数值 概率分布 除数 标准不确定度
校准不确定度 5.0mm 正态 2 2.5mm
分辨力（分度大小） 0.5mm* 矩形 根号3 0.3mm
绳子放置不完全值 10.0mm* 矩形 根号3 5.8mm
10次重复读数平均
值的标准不确定度 0.7mm 正态 1 0.7mm
合成标准不确定度 假设的正态 6.4mm
扩展不确定度 假设的正态（k=2） 12.8mm

测量不确定度初学者指南其它说明（例如对技术规范的符合性）（七）
  10． 其它说明（例如对技术规范的符合性）
在根据测量结果做出结论时，一定不要忘记测量不确定度。这在用测量结果检验是否符
合技术规范时是很重要的。
有时测量结果虽然清楚地落在技术规范限值的范围内或外，但不确定度会交叠在限值上。图7种的例解说明了四种结果。



图7测量结果及其不确定度相对于规定的技术规范限值所处位置的四种情况。（同样，不确定度还可能与规定的下限交叠）
情况（a），测量结果和不确定度都落在规定的上下限内，这归为"合格"类。
情况（b），无论测量结果还是不确定度范围的任何部分都没有落在规定的限值内，这就归为"不合格"类。
情况（b）和（c）即不完全在限值内，也非完全显现之外，对符合与否不能做出明确结论。
在说明是否符合技术规范以前，总要核对一下技术规范。有是规范还包含多种性能，诸如外观、电接头、互换性等等，这些与已测的内容毫无关系。

测量不确定度初学者指南计算器的使用（九）
  13． 计算器的使用
在用计算器和计算机计算不确定度时，你必须了解如何在使用中避免出错。
13．1计算器的按键
（x杠）键给的是你输入计算器储存的数值的平均值（算术平均值）
（西格玛n减一）键（有时用符号s）给的是在你有限样本基础上的"总体"估计的标准偏差。（实际上，任何一组读数都是可能读数的"无限总体"中的一个小样本。），或者s，是标准偏差的估计值，这对本指南7.11节的"A类评定"在计算不确定度时是你应当采取的。
你的计算器可能还会有标有的键。对不确定度的估算你通常不会使用：给出的是样本本身的标准偏差，并不给出对你想要表征的较大"总体"的"估计值"。对非常多的读数。就非常接近。但是对只有适度次数读数的实际测量情况，你就用不着。
13．2计算器和软件的误差
计算器能出错？！实际上，在处理非常长的数字时，它们有时会给出意想不到的结果。例如有的计算器给出如下结果：
0.0 0002X0.000 0002=0（确实如此）
而正确答案是0.000 000 000 0004。（当然，这最好表述成。）甚
至计算机也会由这种修约误差的缺点。为了识别这个问题，就应通过典型的"手"算来检查数据表格软件已正式这两种方法是否相吻合。要避免这些修约方面的问题，在你的计算中采用"变换"数字是切实可行的（这种换算有时也叫比例换算或数字编码）。
13．3比例换算例4所示是如何做比例换算来避免软件和计算器的误差，而且在你计算中如果没有计算器，如何使你运算更容易。

例4对1.000 000 03，1.000 000 06和1.000 000 12求平均值和估计的标准偏差。
对全部数值的计算，你可以求3、6、12的平均值（平均值为7），然后再导出原数值的平均值为1.000 000 07。
逐步过程：你从1.000 000 03、1.000 000 06、1.000 000 12都减去整数1，得到
0.000 000 03 0.000 000 06 0.000 000 12
然后乘以100 000 000()把整个计算成为整数运算，即
3 6 12
去平均值 接着反过来，把该平均值除以，即
7/100 000 000=0.000 000 07
再加上1，既有1.000 000 07
按类似的方法用"比例运算"来计算估计的标准偏差。换算数据如前：
3 6 12
去平均值



接着反过来，把该平均值除以，即
7/100 000 000=0.000 000 07
再加上1，既有1.000 000 07
按类似的方法用"比例运算"来计算估计的标准偏差。换算数据如前：
3 6 12
并有换算的平均值7。
用计算器或按如下的前述公式（见3.6节）来求估计的标准偏差：

求每一个数与平均值之差，既有
-4 -1 5
对每一个差值求平方，既有
16 1 25
求合并除以n-1，即

取平方根，既有
=4.6（取到一位小数）
然后将此结果（4.6）换算回原比例，得到估计的标准偏差为0.000 000 046。（注意，这不是1.000 000 046，因为移位数字组的标准偏差是不变的。）


13．4数字修约
计算器和数据表格软件都能对答案给到许多位小树。对结果的修约有一些推荐的做法：

对计算值采用修约到有意义位次。测量结果的不确定度可能规定你应报告到多少数位。例如，假设你的测量结果的不确定度是到小数点第一位，那么测量结果也应该表述到小数点一位，例如：20.1cm±0.2cm

使你的计算至少到比你最重要求得有效数字多一位。在你在做乘或除，或者更复杂的计算时，要意识到你需要用多少位有效数。

对数值的修约应在计算的最终进行，以避免有修约误差。举例来说，如果对2.346在计算中早一步就修约到2.35，那么后来就可能修约到2.4。但如果在整个运算中都用2.346，那么在最终就会正确的修约到2.3。

虽然计算结果最终修约乘或进或舍，这取决于最接近的数字*，但对不确定度修约的规则是与此不同的。对最终不确定度的修约都是尾数进位，而不是舍去。

测量不确定度初学者指南再学习并付诸实践（十）
  14．再学习并付诸实践
现在你知道了不确定度评定的基础知识。但是在你能将这些知识用于实践以前，你还会需要进一步的指导。
在16节"进一步的读物"所列的文本中可以找到更多的信息。在UKAS（英国认可机构）出版的文件M3003"The Expression of Uncertainty and Confidence in Measurement"（《测量的不确定度与置信度的表述》）中，给出了关于如何正确而又充分的分析测量不确定度的细则。在EA-4102"Expression of Uncertainty of Measurement in Calibration"（《校准中测量不确定度的表述》）中也给出了类似的导则。这些文件的目标是对那些需求认可其校准或检测的实验室的。这些文件对估算测量不确定度做了全面说明，用多种不同类型测量的运算实例以完善这种说明。这些文件给出了关于不确定度方面术语的专业定义，并列出了相应的常用符号。它们还处理了一些特殊情况，以及为了对不确定度作全面正确的计算而必须考虑到的一些特别问题。
15． 提醒话
不确定度分析是一个推进中的课题。这些年来已有了一些细微的变化。尤其，在本初学者指南中所给出的规则并不是"绝对的"，有大量的特殊情况要应用一些略有不同规则。对如何说明特定不确定度的一些更细致观点甚至还有讨论的余地，不过本指南所提出的建议仍是常规实践中可行的。
本文介绍的并不是全面情况，文中并没有对一些特殊情况做处理。下列情况要用一些额外的规则：

●如果你对非常少量的数据（少于10个）要用统计方法；
●如果不确定度中的一个分量要比所有其它涉及的分量要大的多；
●如果有些要计算的输入量是相关的；
●如果数据散步或分布的形状不是常见的；
●如果不确定度不是对单一结果，而是对若干点拟和成一根曲线或直线。

这些特殊情况在下一节"进一步的读物"中所列的某些文本已经都涉及到了。

测量不确定度初学者指南进一步的读物（十一）
  16． 进一步的读物
1． BIPM,IECIFCC,ISO,IUPAC,OIML.Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. International Organization for Standardization,Geneva.ISBN92-67-10188-9,First Edition 1993, corrected and reprinted 1995,(BSI Equivalent:BSI PD 6461:1995, Vocabulary of Metrology, Part 3. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. British Standards Institution, London.)
2． BIPM,IECIFCC,ISO,IUPAC,OIML.International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology Second Edition 1993.International Organization for Standardization, Geneva.
3． Chatfield, C.(1983) Statistics for Technology. Third Edition.(New York: Chapman and Hall.)
4． Dietrich, C.F. (1991), Uncertainty, calibration and probability. Second Edition. (Bristol: Adam Hilger.)
5． EA-4/02 Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration, 1999, European co-operation for accreditation.
6． International Standard ISO 3534-1 Statistics - vocabulary and symbols - Part I: Probability and general Statistical Terms, First Edition 1993, International Organization for Standardization, Geneva.
7． PD 6461: Part I: 1995 Vocabulary of Metrology, Part 1. Basic and general terms (international), British Standards Institution, London.
8． EURACHEM/CITAC Guide: Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement, Second Edition 2000.
9． UKAS publication M 3003 The Expression of Uncertainty and Confidence in Measurement Edition 1, December 1997.
10． International Standard ISO/IECA 17025 GeneralRequirements for the competence of testing and calibration laboratories, First Edition 1999, International Organization for Standardization, Geneva

测量不确定度初学者指南如何降低测量中的不确定度和一些良好的测量习惯（八）
  11． 如何降低测量中的不确定度
始终要记住，使不确定度降至最低与队不确定度定量通常都一样重要。由一些好的做法能有助于在一般做测量中降低不确定度，现推荐如下几点：

●校准测量仪器（或者你已有校准过的仪器）并使用证书上给出的校准的修正值。
●对你知道的任何（其它）误差做修正来补偿。
●使你的测量溯源到国家标准--采用校准方法，这可以通过不间断地测量链溯源到国家标准。如果通过测量认可（英国由UKAS负责）对测量做了质量保证，你对测量的溯源性就可特别信任。
●选择最好的测量仪器，并使用具有最小不确定度的校准设备。
●通过重复测量或不时地请他人做重复测量来检查测量，也可用其它检查方法。用不同方法进行检查可能是最好的方法。
●审核计算，并将数据另外抄录下来，再对其审核。
●用不确定度汇总表识别出最差的不确定度，并将它们提出来。
●要注意，在逐级的校准链中，不确定度是逐级增大的。

12． 其它的一些良好的测量习惯
总的说来，要养成测量中公认的好习惯。
●要按照生产厂的说明书来使用和保养仪器。
●要用有经验的人员，并为测量提供培训。
●要对软件做核查或证实其有效，以确信其工作无误。
●在你的计算中要采用正确的修约方法。（参见13.4节）
●对你的测量和计算要保有良好纪录。测量中随时记下读书。要保持对可能有关系的任意额外信息的记载。如果在什么时候产生对过去测量的怀疑。这种记载就会非常有用。
在别处还详述了许多其它的测良好习惯。例如国际标准ISO/IEC17025《检测和校准实验室能力的通用要求》。参见16节"进一步读物"