因此从粒子谱可看出玻色和费米自由度是相等的。
因此这两个理论都具有时空的超对称,IIA是non-chiral N=2超对称理论,而IIB是chiral 的N=2的超对称理论,他们都有32个超荷。(2) I型超弦理论 ,该理论在世界面水平上和IIB完全一样,我们可以由IIB理论出发得到I理论。我们取IIB中在世界面宇称变换下不变的态,去除在宇称变换下变化的态,这样就得到了非定向的闭弦理论,无质量的粒子谱为[0]+[2]+(2)+ 8′+56,仅仅这个非定向的闭弦理论是不自恰的,因为在单圈水平上会出现发散和反常,为了使理论自恰必须加上非定向的开弦,开弦带有非动力学的Chan-Paton 自由度,非定向的开弦的对称群为SO(n)或SP(n),只有取SO(32)理论才自恰,因为其他情况会出现发散和共型反常。因此I 型超弦理论的无质量粒子谱为[0]+[2]+(2)+ 8′+56+(8+8v) 。最后要指出I型理论是N=1的超对称理论,共有16个超荷。(3) 杂化弦理论:在世界面上,有 8个标量场,全纯部分有32个Majorana-Weyl 费米场,反全纯部分有8个Majorana-Weyl 费米场,因此只有N=1 的超对称,共有16个超荷。(I) 杂化弦SO(32)理论:世界面上理论是SO(9,1)×SO(32其中SO(32)是指全纯部分32个费米场组成多重态的内部对称性,而SO(9,1)和II型弦论一样是指理论的Lorentz 对称性。量子化后我们可以得到粒子谱,全纯部分的费米场的Ramond sector的粒子谱中都是有质量的粒子,而没有无质量粒子,也没有快子,NS sector 中有快子,有无质量粒子。反全纯部分和II型弦论一样。做了GSO投影后,可以得到没有快子且具有N=1的时空超对称的杂化弦SO(32)理论,其无质量粒子谱为:全纯部分是(8v,1)+(1,496) (注:8v,1,指的是SO(8)下的矢量和恒等表示,1,496指的是 SO(32)的恒等表示和2阶反对称张量)。反全纯部分为8+8V ,(其中8, 8v分别是SO(8)的旋量和矢量)。所以无质量粒子模式为 (1,1)+(28,1)+(25,1)+(56,1)+(8′,1) + ( 8v,496) + (8,496). 即为I型超引力多重态加上SO(32)伴随表示的规范多重态。(II) E8×E8 杂化弦理论:把全纯部分32个费米场分成两部分,他们分别满足独立的边界条件。因此就有4种情况周期-周期(R-R),周期-反周期(R-NS),反周期-周期(NS-R),反周期-反周期(NS-NS),反全纯部分和SO(32)杂化弦理论一样。量子化后,在全纯部分的粒子谱中,NS-NS sector 有快子及无质量粒子,R-NS sector 有无质量粒子,NS-R sector同理, R-R sector 没有无质量粒子,所以全纯部分总的无质量粒子(是在SO(8)×E8 ×E8下)为 (8v,1,1) +(1,120,1) + (1,1,120)+ (1,128,1)+(1,1,128). 反全纯部分为 8+8V 。因此,总的E8×E8杂化弦理论的无质量粒子谱为(1,1,1)+(28,1,1)+(35,1,1)+(56,1,1)+( 8′,1,1)+ (8v,248,1)+(8,248,1)+( 8v,1,248)+(8,1,248) ,这粒子谱就是10维时空N=1的超引力多重态加上E8×E8的规范多重态。
到此已经对5种弦理论做了讨论,接下来当然要考虑弦的相互作用,主要感兴趣的是无质量弦态的散射。算弦的散射图,可能用顶角算子方法比较方便。每个无质量弦态可以表示为相应的顶角算子,这些顶角算子的期望值就可的到树图,若加入相互作用,就可以得到圈图(过程中当然要考虑世界面的边界条件)。所有的图都是有限的,即不存在发散,原因是因为弦相互作用的顶角是非局域的。另外用有效作用量来计算弦散射的树图是比较方便的。一般有效作用量中有无穷多项的,但是高阶时空导数项在低能时并不重要,因此我们可以舍去高阶项,留下低阶项构成低能有效作用量,由这个作用量可以算出弦的树图散射。5种弦的低能有效理论分别是IIA超引力,IIB超引力,N=1超引力耦合上N=1的规范群为SO(32)的超对称Yang-Mills 理论(I型弦论的低能理论),N=1超引力耦合上N=1的规范群为SO(32)的超对称Yang-Mills 理论(杂化SO(32)的低能理论),N=1超引力耦合上N=1的规范群为E8×E8的超对称Yang-Mills 理论。
稍稍说说弦的紧化。我们知道到至少到目前为止物理时空是4维的,然而自恰的弦理论生活在10维时空中,为了得到低维时空上的弦理论,可能只有通过紧致化这条途径。10维时空流型可以分成为一个(9-d)维紧致化M和一个(d+1)的Minkowski 时空的直积,并且紧化流型M的尺度至少要比现在能探测到的尺度要小。同时紧致化型M并不是任意的,他必须满足弦的低能有效理论,他可以是tori, K3,Calabi-Yau ,etc. 。 在10维时空的弦理论中,我们关心的只是无质量的模式,而现实的物理世界中是存在有质量粒子的,那么通过紧化怎样才能的到低维理论中的有质量粒子?至少必须要破坏手征对称性,可以破缺紧致内部空间的受征对称性,由于超弦理论中的 GSO 投影,则(d+1)的Minkowski 时空的 手征对称性也破缺掉了。 …………………..
参考 : Polchinski’s 九阴真经 Vol. I & II .
To the Nonperturbative string theory (D brane , non-BPS state , duality , Ma
trix theory and ads/cft ), to maybe continue in spare time.