三. 复数、四元数的物理意义
虚数i=p
−1 的出现可溯源于15世纪时求解三次方程,但到18世纪的欧拉时代,仍称之为「想象的数」(imaginary)。数学界正式接受它要到19世纪, 经Cauchy, Gauss, Riemann, Weierstrass 的努力, 以漂亮的复变量函数论赢得历史地位。至于在物理学领域, 一直认为能够测量的物理量只是实数,复数是没有现实意义的。尽管在19世纪, 电工学中大量使用复数, 有复数的动势, 复值的电流, 但那只是为了计算的方便。没有复数,也能算出来, 只不过麻烦一些而已。计算的最
后结果也总是实数, 并没有承认在现实中有真有「复数」形态的电流。鉴于此, 杨振宁先生说, 直到本世纪初,情况仍没有多少改变。一个例证是创立量子电动力学的薛定谔(Schrodinger)[4]。1926年初, 据考证, 他似乎已经得到现在我们熟悉的方程
ih@ @t= H (x, t) (1)
其中含有虚数单位i, , 是复函数, 但最后总是取实部。薛定谔因其中含虚数而对(1) 不满意, 力图找出不含复数的基本方程。于是他将上式两面求导后化简, 得到了一个没有虚数的复杂的高阶微分方程
−h2 ¨ = H (2)
1926年的6月6日, 薛定谔在给洛兰兹的一封长信中, 认为这一不含复数的方程(2) 「可能是一个普遍的波动方程。」这时, 薛定谔正在为消除复数而努力。但是, 到了同年的6月23日, 薛定谔领悟到这是不行的。在论文[5]中,他第一次提出: 「 是时空的复函数, 并满足复时变方程(1)。」并把(1) 称谓真正的波动方程。其内在原因是, 描写量子行为的波函数, 不仅有振幅大小, 还有相位, 二者相互联系构成整体, 所以量子力学方程非用复数不可。另一个例子是H.Weyl 在1918年发展的规范理论, 被拒绝接受, 也是因为没有考虑相因子, 只在实数范围内处理问题。后来由Fock 和London 用加入虚数i 的量子力学加以修改, Weyl 的理论才又重新复活。20 数学传播21卷2期民86年6月牛顿力学中的量全都是实数量, 但到量子力学, 就必须使用复数量。杨振宁和米尔斯在1954年提出非交换规范场论, 正是注意到了这一点, 才会把Weyl 规范理论中的相因子推广到李群中的元素, 完成了一项历史性的变革[6]。1959年, Aharanov 和Bohm 设计一个实验, 表明向量势和数量势一样, 在量子力学中都是可以测量的,打破了「可测的物理量必须是实数」的框框[7]。这一实验相当困难,最后由日本的Tanomura 及其同事于1982和1986先后完成[8]。这样, 物理学中的可测量终于扩展到了复数。