实战宝典 原创大赛 仪器问答 仪友会 总帖：8042502今日发帖：304 我的社区 签到
快速导航 采购仪器 提醒
原子吸收光谱（AAS）
版主:
入住本版
专家:
居民列表

主题：【原创】曲线拟合中的合理法原理

浏览0 回复19 电梯直达
jack510070
头像
结帖率：
100%
关注：0 |粉丝：0
新手级： 新兵
发表于：2012/03/19 17:25:11 楼主 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
该帖子已被tianyamingye设置为精华；
本人最早看到合理法一说大约在去年本坛的一个帖子上，据说是瓦里安采用的一种新的回归模型。当时就对此产生兴趣，不过一直没有机会接触瓦里安的仪器，这件事也就搁下来了。最近几天看到坛子里又有议论这种方法的帖子，感谢cwk_12网友提供的贴图以及附件中的材料，终于了解了这种方法的原理。

启发我的是材料中的拟合过程：先0、1点拟合一条直线，然后0、1、2三点拟合一条三次曲线，然后1、2、3点…以此类推。这一下子就激活了我以前研究S样条曲线插值算法中的一些回忆。不敢自密，这里把所谓合理拟合的算法原理写出来，供同好们议论。

如果给定一组自/因变量实验点，要求你算出一条曲线通过所有这些采样点，你会怎样做呢？常用的多项式最小二乘线性回归法是无能为力的，它们只能做出一条曲线，使这些点离这条曲线的距离之平方和最小，而不是通过这些数据点。要得到通过这些实验点的曲线，只能采用分段样条曲线的形式，而最常用的就是3次样条曲线。

最原始的样条曲线插值法在网上很容易找到，它的原理是这样的：对于一组n点实验样本，它们在自变量轴上可以分成n-1个小区间，对于这n-1个区间，每一个都定义一个三次多项式回归函数，形如yi=ai(x-xi)^3+bi(x-xi)^2+ci(x-xi)+di，这里xi是第i个实验样本的自变量。为了计算每个区间的ai、bi、ci及di系数，要求这些回归方程有以下约束：1）它们都通过(xi,yi)和(xi+1,yi+1)；2）它们在xi上与前一区间的一阶导数和二阶导数连续。只有同时满足这两个条件，才能保证整体的光滑性。

这两个约束使得每一个区间的4个参数能够求解出来，但是导致3对角线矩阵的求逆过程。如果实验样本数量很大，这个逆矩阵的求解是很困难的。于是就有了“合理法”这种简化模型。

它的原理是这样的，对于n点实验样本（x1,y1）、（x2,y2）…（xn,yn），为了使整体模型通过原点，在前面插入一个零点，即（0,0）。

对于第i点，把它与前后两点共三点用回归方程yi=ai(x-xi)^3+bi(x-xi)^2+ci(x-xi)+di表达，要求方程通过（xi-1,yi-1）、（xi,yi）和（xi+1,yi+1）。我们知道，把这三点代入回归方程并不足以求出4个参数，为次强迫曲线过i点的一阶倒数为Si，这样就有Si=ci，于是4个方程联立就可以求出4个参数。需要强调一下，因为di=yi，ci=Si，实际上只需要解二元一次方程组。

Si如何确定呢？对于0、1、2这三点，S1用(y1-0)/(x1-0)确定，对于i-1、i、i+1（i>1），则用前一组算出的方程在其i+1点上的导数确定Si。第i个多项式方程只管xi-1到xi之间的插值。

由于这种算法不需要求解大矩阵的逆，尽管3对角矩阵的逆不难解，但是还是使计算复杂度控制在很简单的层次上，实际上人工计算就可以完成。在计量学和信号处理理论中，这种算法称为有理法或有理解（Rational）。

以上是我对“合理法”的理解，权作引玉之砖耳。
为您推荐
近期热榜
热门活动
您可能想找: 气相色谱仪(GC) 询底价
选参数 看心得 找厂商 查方案
专属顾问快速对接
立即提交
可能感兴趣
ldgfive
ldgfive
结帖率：
100%
关注：0 |粉丝：0
新手级： 新兵
2012/3/19 17:46:01 沙发 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
这种方法的拟合好复杂，好象与二次拟合、三次拟合不太一样
不过，曲线拟合方式，还是有一定意义的
赞贴
0
收藏
0
拍砖
0
举报
suiniubei
suiniubei
结帖率：
100%
关注：0 |粉丝：0
新手级： 新兵
2012/3/19 18:13:23 板凳 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
还是不懂。
　最好能举个实例。
赞贴
0
收藏
0
拍砖
0
举报
悠旸
ihqs
结帖率：
100%
关注：0 |粉丝：0
新手级： 新兵
2012/3/19 19:33:08 马扎 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
佩服楼主的深厚理论和钻研精神，遇到理论上的问题还要jack510070专家指点呀。
赞贴
0
收藏
0
拍砖
0
举报
2012/3/19 19:33:26 Last edit by ihqs
wmj31
wmj31
结帖率：
100%
关注：0 |粉丝：0
新手级： 新兵
2012/3/19 19:54:28 地毯 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
拟合方式挺复杂的，估计用EXCEL没法拟合。文章很好，很精辟。
赞贴
0
收藏
0
拍砖
0
举报
童话仙子
liling123436
结帖率：
100%
关注：0 |粉丝：0
新手级： 新兵
2012/3/19 21:18:10 地板 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
很经典，这种拟合方法估计是独家的吧，毕竟多数仪器估计没有的拟合方式了
赞贴
0
收藏
0
拍砖
0
举报
cwk_12
cwk_12
结帖率：
100%
关注：0 |粉丝：0
新手级： 新兵
2012/3/20 16:17:03 6楼 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
分析的很不错，其实到现在我对这个新合理拟合的理解还不是很透彻啊，看样子还得钻研啊
赞贴
0
收藏
0
拍砖
0
举报
jack510070
jack510070
结帖率：
100%
关注：0 |粉丝：0
新手级： 新兵
2012/3/20 23:30:51 7楼 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
有一个小漏洞：一阶导数约束应该施加于i-1点而非中间的第i点。
谈谈我对这种方法的看法：
先说它的使用： 如果实验样本点有5个，加上零点是6个。这种方法将给出5个分段的3次多项式，分别管0/1、1/2、2/3、3/4和4以后的浓度预报，这就要求实验点的吸光值是单调增的，即浓度越高，吸光值越大。遇到塞曼仪器的吸光度反转问题时，这种方法就不适用了。
样品测定时，得到样品的吸光度，在这种方法中，首先确定吸光度落在那一个区间上，然后用牛顿法就可以算出其浓度值来了。对于三次方程，应该用诸如牛顿法这样的数值算法，而不是从数学手册上抄下3次方程的3个解公式，因为你还得费劲解释那一个解才是正确的。
关键一点是： 这种方法强迫“工作曲线”通过所有实验样本点。我们知道，实验总会存在噪声和误差的，因此这种定量方式实际上放大了噪声和误差的影响，所以本人不建议采用这种定量方式。不过，“新合理法”貌似很有道理，似乎可以采用。
我现在对新合理法有一种矛盾未能理解：它只用一个确定的公式，那么肯定无法通过所有实验点，这样的模型相关系数是不可能等于1的。
赞贴
0
收藏
0
拍砖
0
举报
qqqid
qqqid
结帖率：
100%
关注：0 |粉丝：0
新手级： 新兵
2012/3/21 0:41:22 8楼 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
楼主原文“要求你算出一条曲线通过所有这些采样点”，曲线通过所有采样点，本身就不合理，没有什么实用性，这种“要求”有点无聊了。

讨论问题的前提不好，楼主的理论也只能自娱自乐一下。
赞贴
0
收藏
0
拍砖
0
举报
jack510070
jack510070
结帖率：
100%
关注：0 |粉丝：0
新手级： 新兵
2012/3/21 9:00:21 9楼 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
原文由 qqqid(qqqid) 发表:
楼主原文“要求你算出一条曲线通过所有这些采样点”，曲线通过所有采样点，本身就不合理，没有什么实用性，这种“要求”有点无聊了。

讨论问题的前提不好，楼主的理论也只能自娱自乐一下。

拜托你了解清楚这个问题的来龙去脉再作这样的评论好吗?
赞贴
0
收藏
0
拍砖
0
举报
桌子下面少个八
tianyamingye
结帖率：
100%
关注：0 |粉丝：0
新手级： 新兵
2012/3/21 14:52:07 10楼 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
文章很好，虽然没看得完全明白。
这些完全是数学上的问题，有没有数学造诣比较高的人能够更深入浅出的解释一下。
赞贴
0
收藏
0
拍砖
0
举报
手机版： 曲线拟合中的合理法原理
猜你喜欢最新推荐热门推荐更多推荐
头像
高级回复 发表评论
品牌合作伙伴
岛津
日立科学仪器
珀金埃尔默仪器（上海）有限公司（PerkinElmer）
日本电子株式会社
丹纳赫
安捷伦
赛默飞世尔科技
普析通用
欧波同
天美
天瑞仪器
德国耶拿
海能技术
马尔文帕纳科
磐诺科技
上海仪电科仪
梅特勒托利多
聚光科技
莱伯泰科
盛瀚
多宁生物
丹东百特
科哲
卓立汉光
屹尧科技
华谱科仪
宝德仪器
优莱博
HORIBA
布鲁克核磁