主题：【转帖】吴文俊院士：探索与实践的科学研究历程

我再顺便讲一下，前面提到的这个Bourbaki学派的影响非常之大，它在20世纪50年代是全世界所学习和推崇的，可到20世纪70、80年代就趋于衰落。这说明即使影响如此巨大的Bourbaki派，在思想方法上也有值得推敲之处。我们经常看到社会上出现各种各样的热门，大家很热衷于这一种新的论文方向，我想我举的例子也可以给这些同志一个提醒，这个情况是短暂的，这种大家都热衷跟随的是否能够持久，我想还是应该思考一下。

我1951年夏天回国，一直到1952年在北大的数学系教书，那年院系调整，我调到了中科院的数学所，一直到1980年系统科学所成立的时候，我又调到了中科院的系统科学所，一直到现在。我从1951年夏天回国以后，就出现这样一个新的情况，与外界缺少联系，基本上和外界或者外国处于隔绝状态，在工作上陷入了一种孤军奋战的情形，在这种情况下，我如何继续进行研究。同时在过去的许多年中，我一直把研究工作局限于突破拓扑学的示性类和纤维丛这个范围，我想是不是可以扩大研究范围，继续进行研究，这是当时面临的一个问题，需要进行认真的思考。当时为了解决我所面临的“怎么样继续进行研究工作，同时又能够扩大我的研究范围”这个问题，我进行了对拓扑学方面的形势分析和历史调查，并在无意之中发现我的这个做法符合了法国大数学家H.Poincare所讲过的一句话，他说如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史与现状。

我一直把拓扑学当成几何学的一个部分、一个分支，也就是数学中研究物质状态的数和形，其中形通常称为几何学，如果我研究形的某一个方面，那么就形成这一方面的一种几何学。比如研究度量性质的就有大家都熟悉的欧氏几何；研究为了画画或是拍照这种需要把外界的图象投射到一个屏幕里面来的，所谓平直性的，在17世纪形成一种新的几何学，叫做投影几何；到18、19世纪，许多数学家注意到形的所谓连锁不连锁的这样一种性质，相应产生的几何学就叫做拓扑学，所以拓扑学早期有另外一个通俗的名称叫做连续几何学，这个拓扑学的正式诞生可以说是在19和20世纪之交，是由Boincare创立的。此后，在美国得到了很大的发展，使得美国成为世界拓扑学的中心。除美国以外，在苏联、瑞士、德国等等，都有相当强的学派和相当规模的拓扑学中心，可在法国本土，它并没有像在其他各国那样得到充分的发展。在我留学法国的时候，研究拓扑学的数学家屈指可数。

再分析一下拓扑学发展的历史，在20世纪30年代，可以说是拓扑学发展的一个分水岭，这以前，对应关系是一一对应，有打结问题、同痕问题、拓扑分类问题，这是一一对应为主的拓扑性的问题。20世纪30年代以后，就把一一对应限制放开了，考虑多一对应就可以。一个原因是因为出现了新方法，叫做Simplicial approximation，在这个影响下，产生了新的不变量，主要是同伦群，这样拓扑学就走向新的一类问题，从拓扑性的问题变成考虑同伦问题，成为当时拓扑学发展的中心内容。通过我的分析，我发现当时拓扑的情况有一个条件，就是当时与我合作的Thom先生证明Stwh示性类拓扑不变性。这个工具和方法可以用于研究拓扑性而非同伦性的这种问题，所以我在1953年以后，就对于这一类拓扑性的、非同伦性的问题进行了检查，尝试用Thom先生引进的那种工具方法，以及我知道的一些方法，全面检查拓扑性而不是同伦性的这类问题。这个尝试很大一部分是没有成功的，或者根本就是失败的，可也有一些方面取得了成功，一类是对非同伦性组合不变量的问题，还有一类所谓嵌入问题、同痕问题，在这种情况下，我建立了示嵌入类理论。由于这个工作，我在1956年得到了首届自然科学奖一等奖，项目内容就是示性类，也是在陈省身先生回国以后继续做的这一方面的研究工作；还有一个是示嵌类。这两方面工作，使我得到了这个奖。1958年我到法国讲学，开设了示嵌类理论课程，听者有瑞士的Haefliger先生，我回国后，Haefliger在法国继续示嵌类研究，并取得了很大成功。1960年以后，我重新进行工作的时候，引起这样一些思考，就是示嵌类理论是我开创的，我找到了具体的方法，但60年代我已经落后了，因为Haefliger做了很好的工作，我继续做这方面工作就陷于被动了，我是应该被动的进行这方面工作，还是为了摆脱这方面被动的局面，寻求新的方向？这是当时我要考虑的问题。而在大跃进期间，提出了理论联系实际、任务带动学科，这对我在思想上产生了很大震动，因为过去一直是为数学而数学的，对现实和应用根本不加考虑，所谓“两耳不闻窗外事，一心只读数学书”与现实脱离的这样一种状态。在大跃进的思想影响之下，我经过思考后，更加重视应用和现实，我对与应用关系较密切的运筹学、博弈论产生了兴趣。

在1965年我无意之中发现，我开创的示嵌类方法可以用来研究集成电路布线问题，并最终用该方法解决了问题。如果没有大跃进时代对这种思想上面的冲击，我遇到集成电路布线问题是不屑一顾的，但正是在这种思想影响之下，使得我非但注意这类问题，而且有意识的真正花精力来进行研究。1958至1965年，我在中国科技大学教学，并在1964到1965年开设了几何拓扑专门化，这还是以Bourbaki思想体系为中心的，这个构成主要是两个，一个是拓扑学，我请同事来讲授；还有一个是代数几何，由于是外行，我采取了边教边学的方式。在代数几何的教学过程中，我对代数几何有了一定的了解，并提供了新工具、新方法，甚至新动力。1965年我参加了四清，回来后文革就开始了，从1966至1976年，主要是参加文化大革命，数学研究工作完全处于停顿。有些美国数学家访问中国，他们带来了一些拓扑学近年新发展的资料，这使得我对于拓扑学重新进行了一些研究工作。在这个进程中，我又有一些思考，就是他们给我的资料，有许多是手写的，都是听讲的笔记，里面出现了我从来没有见到过的一些奇怪符号，这些也没有在任何书本杂志里面出现过，因为这都是国外的数学家在互相交流学习的时候随便写出来的符号，所以不会进入到书本或者是杂志里边去，至少短时期内不会。在这个情况之下，如果要参与这些工作，就必须要经常与国外的同行打交道，要经常到国外去参加他们的讨论班、学术会议等等，这就使得我处于相当被动的局面，所以我当时提出了这样一个问题，怎样可以找到自己进行研究的道路，可以不受国外影响，就在国内也可以自己进行研究工作？这个问题必须要解决。在文革期间，关肇直同志在思想上给了我非常大的启发。由于我过去对恩格斯的自然辩证法一无所知，恰巧关肇直同志当时正带领数学所的许多同志一起学习恩格斯自然辩证法。通过学习我知道了数学不仅仅要研究数和形，而且应该研究现实世界中的数和形，这个数和形不是脑子里空想脱离实际、抽象的事物，而是植根于现实世界的。关肇直同志经常说，数学上扎根外国、追随外国，不经常去外国，甚至久留外国，你又怎么办？因为你的根子是在外国。关肇直不仅提出这个思想，而且他身体力行，提出了关肇直道路，他在数学所成立了控制论的研究室，把方向与卫星和航天等部门直接联系起来，研究课题就来自卫星和航天部门，而且在数学上为这些部门的要求提供了一些解决的办法。这就说明，关肇直这种“不要扎根外国、追随外国，而立足国内”的这种思想是行得通的，而且应该受到大家的重视，关肇直同志自己就做出了榜样。我当时想我是不是也要像关肇直同志那样寻找一条道路，可以立足国内，不受国外的影响。文革期间，数学方面的研究工作当然是完全停顿下来了，可是我觉得还有另外一个收获，就是在思想上得到了很大的解放，就是说我可以不完全纠缠在数学范围以内，而放眼世界、立足国内，寻找自己的道路。在这个时期，我学习了自然辩证法和毛泽东选集，从中得到许多启发，这对我的工作产生了很大的影响。在当时有一句话，叫作“你打你的，我打我的”，在这句话的影响之下，结合我在数学方面的研究工作，我想应该你国外干你国外的数学，我在国内寻找我在国内的道路、方法，可怎样解决这个问题我心中无数。在1974至1975年，机会来了，当时关肇直同志建议数学所全所学习中国古代数学，还有我被下放到计算机的工厂向工人阶级学习，这两件事给了我一个很好的机会，使得我这种“你干你的，我干我的”的想法得到了解决途径。通过学习中国古代数学的构成，我发现中国古代数学是与西方源于古希腊的公理化数学有完全不同之处，西方现代数学是一种公理化研究体系，是追求定理证明的一种数学，而中国的古代数学根本不考虑定理，更不考虑怎么定理证明，它主要的目的是要解决形形色色实际中提出来的问题，由此导致这个解方程式的方法。中国古代数学的许多结果不是由定理的形式来表示，而是用算法，所谓算术的术来表示的，这个术就相当于现在意义中的算法，而算法是所谓计算机科学的灵魂。在学习以后，我了解到中国古代数学是正好适合于计算机时代的一种算法的数学，或者叫计算机数学，我个人称之为机械化的数学。就在1976年和1977年之交，我根据当时的思想认识在几何定理的证明上面进行了尝试，当然那个时候没有什么像样的计算机，我是用手算，就好像我自己是一个机器，仿造机器的动作，一步一步手算来进行定理的证明，经过几个月的艰苦尝试，终于取得了成功，产生了所谓几何定理的机器证明，这在国外引起了相当大的反响。20世纪80年代以来，把这个发展成为有系统的、范围较广的，不仅限于数学，而且应用到许多不同的领域，就叫作数学的机械化。

在“你干你的，我干我的”这种思想指引下，由于机缘巧合，赶上了学习中国古代数学和计算机，使得我终于找到了立足国内，不受国外影响的自己的道路，或者说是源于中国古代数学的机械化数学。具体来讲，中国古代数学中一个辉煌的成绩就是解“动向式”方程，许多实际问题最后往往变为方程形式，特别是动向式方程组，解动向式方程组是中国古代数学发展的一个核心问题，到现在这方面已经发展成为一个有相当规模的、比较有力量的队伍，不仅在数学理论方面，也在应用的许多方面取得了某种程度的成功，可整体来讲还只是一个起步阶段，我们必须在这个方向上继续迈进。

在2001年，我很荣幸的获得了首届国家最高科技奖，这个证书是江泽民总书记颁发给我的，对此我衷心感谢党、国家和人民给我的支持和荣誉，我将以我的余生继续在数学的道路上前进，以答谢党、国家和人民对我工作的支持，以及给我的荣誉，还有五四运动以来在思想上对我的影响，这是我继续要做的工作。谢谢大家!

吴文俊倡导数学机械化研究

作者：石赫 来源：中国科学院网站

吴文俊 数学家，中国科学院院士，第三世界科学院院士。1919年出生于上海。1940年毕业于上海交通大学数学系。1949年在法国斯特拉斯堡大学获法国国家科学博士学位。曾任中国科学院系统科学研究所名誉所长、中国数学会理事长、中国科学院数理学部主任。1990年创建数学机械化研究中心，并任主任。研究工作涉及代数拓扑学、代数几何、博奕论、数学史、数学机械化等众多学术领域。1956年因在拓扑学中示性类与示嵌类方面的卓越成就获国家自然科学奖一等奖，1980年获中国科学院科技成果一等奖，1992年获第三世界科学院数学奖，1993年获陈嘉庚基金会数理科学奖，1994年获求是科技基金会杰出科学家奖，1997年因在数学机械化研究方面的开创性贡献获Herbrand自动推理杰出成就奖，2000年荣获首届国家最高科学技术奖。

吴文俊先生倡导数学机械化研究，是从数学科学发展的大局出发的，反映了他本人对数学科学的认识和理解。

要认识现状，有必要借鉴历史。吴文俊花大力气研读数学史。数学史研究大致分为二途，一是考证，二是诠释。吴文俊则另辟视角，着重审视数学史实在数学发展历程中的地位、作用、影响、贡献。从而发现数学发展的线索和途径，理解数学发展的内在规律，寻求数学的进步与客观需求相适应的轨迹。中国的传统数学，由求解几何问题以及其它各类实际问题，而导致方程求解，是古算术发展的一条主线。几何问题的解决，其答案往往以公式的形式出现。由观天测地导致的勾股弦公式、日高公式等等，都是从一些简单易明的原理导出的。然而在《四元玉鉴》中己经指出，如果引入天元(即未知数)并建立相应的方程，通过解方程即可自然导出这些公式。这提供了一条证明与发现几何定理的新路：把非机械化的定理求证归结为机械化的方程求解。中国传统数学，以算法为主体，适宜在计算机上实现，具有机械化的特征。所谓数学机械化，就是在证明定理和求解的过程中，每前进一步，都有章可循的确定下一步该做什么和如何做。吴文俊明确提出，中国古代数学是一种机械化数学，数学机械化思想是中国古代数学的精髓。数学发展的历程中，存在公理化思想和数学机械化思想，理应兼收并蓄。公理化思想的成果以定理表述，而机械化思想的成果则常总结为算法(术)的形式。近代数学的伟大发现，无不闪烁着数学机械化思想的光辉。当今，计算机的功能不断增强，它作为工具将大范围地介入数学研究，这将对数学的发展产生重大影响。数学机械化思想，理应得到发扬光大，从而推动数学蓬勃发展。这是时代的要求，也是数学科学发展之必然。

数学的实质跃进在于化难为易。在中国古代数学的成就中，吴文俊见到了许多实例，它们实现了化难为易的伟大创造。如十进位位值制，把0,1,…，到9这10个数字，因其在前后不同的位置又赋予相应的位置值，这样就可以利用这10个数字表示任意大的整数，同时使整数间的计算变得简便易行。这一创造使极为困难的整数表示和演算，变得这样简易平凡。又如算术四则运算问题，通过建立、求解代数方程，化难为易，是数学的一次跃进。再如在解方程的发展过程中，天元概念和天元术的出现，使方程的建立也成为机械化的过程，从此变得轻而易举。这是机械化数学思想化难为易的又一次体现。在数学发展史上，其意义之重大是可与位值制的创造相提并论的。这是中华数学在数学上影响深远的又一贡献。

是否能化难为易，以及如何才能化难为易，也就是把原来极为困难的数学问题实现机械化而变得容易起来，乃是数学机械化的主题思想，也是它的主要目标。数学的发展，应该适应信息时代的客观需求，也要遵循数学科学进步的内在规律。吴文俊明确提出了自己的方案：开展数学机械化研究，让数学机械化思想的光芒普照数学的各个角落。战略构想的实现，首先要选好突破点。战略突破口选在那里？吴文俊想到：西方传统的几何定理证明，其形式与机械化迥然不同。是否也可找到一条道路，使证明也成为机械化的呢？非常“不机械化”的欧氏几何，也走几何代数化的道路，实现定理证明的机械化，使普通人都可证明复杂、困难的几何定理。几何是由代数控制的，应用不同的代数工具，会导致不同类别的几何，吴文俊深谙个中道理。他自然想到那些不具有微分运算的几何，如欧氏几何、非欧几何、球几何、投影几何、仿射几何、有限几何、代数几何等等。既然走几何代数化的道路，这些几何定理的证明能否也实现机械化呢？经过艰苦努力，吴文俊建立了多项式组特征列的概念。以此概念为核心，提出了多项式组的“整序原理”，创立了机证定理的“吴方法”，首次实现了高效的几何定理的机器证明。

吴文俊分析所取得的成绩时指出，我们是遵循我国古代机械化数学的启示，把几何代数化，把非机械化的几何定理证明转化为多项式方程的处理，从而实现了几何定理的机器证明。初等几何定理的机器证明是战略突破点，由此打开局面，再逐步走上更一般更深层的数学机械化之途。数学不同分支中许多的问题，自然科学不同领域中很多的问题，高新技术中大量的问题，都可转化为多项式方程组求解。机证定理仅是解方程的一项重要而成功的应用，解方程才是数学机械化研究的核心内容。数学机械化思想是一种思维模式，一些数学分支正是由于踏上了机械化的道路而获得蓬勃发展，成为重要的研究方向，甚至成为数学的主流。他以自己熟悉的代数拓扑学为例解释道，庞加莱(Poincare)以解析方程组所定义的几何图像作为研究对象，建立了代数拓扑学。稍后又引进了复合形的概念，使某种程度的机械化考虑得以成立，从此拓扑学得以飞跃发展，成为当代数学中最有影响的学科之一。他还举例，当代最活跃的几何学领域，微分几何与代数几何，有着直观的背景，它们最基本的几何对象，都是通过坐标与方程来表达的，隐含着几何代数化的思想。数学的各个领域，都有自身的发展模式，有着自己的定理求证和问题求解, 如何走上机械化的道路，有待于各行各业专门家的努力。

撰稿人：石 赫

点 评：

吴文俊先生花大力气研读数学史，但他不是着眼于考证、诠释，而是着重审视其在数学发展历程中的地位、作用、影响和贡献，从而发现数学发展的途径，理解数学发展的内在规律，寻求数学的进步与科学发展及客观需求相适应的轨迹。正是由此而受到启发，他积极倡导并投身于数学机械化研究。这反映了他对数学研究的一种全局观，体现了自然科学研究的哲学。数学机械化的意义，远不是用机器证明或发现几个定理，而在于此项研究遵循了数学科学发展的内在规律，适应了信息时代的客观要求。