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主题：【讨论】tcxuefeng读书笔记——核磁中的傅里叶变换

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tcxuefeng
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发表于：2012/08/12 12:55:26 楼主 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
我们知道，核磁采集的是FID信号，这一信号产生的是时域谱。
        简单说来，时域信号就是很多sin,cos的振荡衰减信号的叠加。这些sin,cos包含了频率，相位，幅度的信息，但交杂在一起却无法通过肉眼来进行分辨。而傅里叶转换通过数学方法，将时域信号转变为频域信号，将不同频率的峰在频率轴上分开，也就得到了我们通常见到的核磁谱图。
 
        那么这一变换的数学公式是什么，又是依据什么原理呢？
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2012/8/12 13:27:53 沙发 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
    假设FID信号为s(t)，注意到这里的自变量为时间t，也就是时域信号。通常情况下，正交检测后的FID为
    其中， Ωl为某一信号的频率，λl为信号的衰减常数(为横向弛豫时间T2的倒数)，al为信号幅度。许多个sl(t)相互叠加，形成了我们所看到的FID信号。
    而FT变换公式如下

下面我们看下经过了FT变换发生了什么
s(t)代入后
简单积分后得到

当t=0后，显然exp(0)为1，但当t为无穷大时，由于右边exp()根据欧拉公式可以转换为(coswt+isinwt)exp(-λt)的形式，而coswt,sinwt为有界函数，exp(-λt) 趋向于0，因此t-∞时为0。因此可以得到

由于这是复数，我们将其实数项和虚数项分开后得到
实数项：

虚数项：
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tcxuefeng
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2012/8/12 13:41:07 板凳 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
实数项即为我们平常看见的核磁图谱，一般是吸收型；虚数项我们通常见不到，但是在相位矫正中起着重要作用。
那么他们分别是什么样子的图形呢？

这便是洛伦茨线型的由来。如果我们研究下方程

我们发现，当Ω取信号频率Ωl时得到最大值1/λ，而随着Ω的原理信号迅速衰减为0。由于λ=1/T2，因此横向弛豫时间越短，峰高越高；另一方面，在半峰高λ/2处画一条平行线y=λ/2，带入方程得到两个交点的横坐标分别是-λ及+λ，因此核磁的半峰宽为2λ，即2/T2。由于真实T2受磁场不均匀性影响要远大于样品本身的T2，因此匀场值的好坏将极大影响核磁的半峰宽，亦即不同峰之间的分辨情况。
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依拉勃
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2012/8/13 16:21:45 马扎 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
我要帮您顶，虽然我不懂，但是我感觉蛮详细的，图文并茂。可以对相关的人有用
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lncui
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2012/8/13 22:01:54 地毯 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
原文由 tcxuefeng(tcxuefeng) 发表:
我们知道，核磁采集的是FID信号，这一信号产生的是时域谱。
        简单说来，时域信号就是很多sin,cos的振荡衰减信号的叠加。这些sin,cos包含了频率，相位，幅度的信息，但交杂在一起却无法通过肉眼来进行分辨。而傅里叶转换通过数学方法，将时域信号转变为频域信号，将不同频率的峰在频率轴上分开，也就得到了我们通常见到的核磁谱图。
 
        那么这一变换的数学公式是什么，又是依据什么原理呢？
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2012/8/13 22:02:38 地板 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
我帮你顶下
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dooby
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2012/8/14 8:51:52 6楼 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
写得很详细啊
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pfizer2001
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2012/8/14 8:53:07 7楼 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
我最近也在学习傅立叶变化，能讲详细一点应用到的数学公式么？
无奈基础有点差劲，现在在补有关复变函数还有高等数学的知识！
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maple1314168
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2012/8/14 14:33:08 8楼 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
          看看傅里叶变换在计算太阳黑子强度的例子：
  以下是1700-1997年之间与平均太阳黑子强度的关系图。

  黑子强度通过傅里叶变换后得到相应的复数。计算复数的模得到各频率的振幅，找出最大振幅对应的频率。（注意：剔除周期为298（所有数据个数）的）频率的倒数就是周期。如下图：


周期（period）约为： 11.037年.
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2012/8/14 14:36:10 Last edit by maple1314168
will1201
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2012/8/14 16:33:51 9楼 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
高手啊，虽然我看不懂，但是还是要顶一下。沃特世
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tcxuefeng
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2012/8/14 18:40:55 10楼 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
原文由 pfizer2001(pfizer2001) 发表:
我最近也在学习傅立叶变化，能讲详细一点应用到的数学公式么？
无奈基础有点差劲，现在在补有关复变函数还有高等数学的知识！


惭愧，我也只知皮毛而已。
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