主题：【原创】I4/mmm = I(4/m)mm or I4/(mmm)? 剖析映转轴一个易犯的错误::A pitfall on the improper rotation axis

图1 使用3dx2-y2轨道近似构造的Cu-O面电子波函数

引言：
这个话题的引入是因为昨天我犯了一个这样的初级错误。

事情是这样的：参看上面这个图1，这是物理所王云平研究员科学网博客Logo的孪生弟弟，也是我克服重重困难修成的正果，做这个图的动机和具体过程我已经整理成一个文档集供有兴趣的朋友下载参考或尝试重构这个图:对王云平关于超导配对电子波函数论文的阅读札记（注：此链接可供非仪器网注册用户匿名下载）。它是典型高温超导氧化物Tl2Ba2CaCu2O8在Cu-O面上的波函数图像，高温超导体相对普通金属超导体的特点主要有两个--一是受Bloch周期势的影响非常明锐，二是载流子浓度较小以至于Bloch周期势很轻松的就能影响到配对电子宏观波函数的符号或相位。表现在图上就是Cu-O面和晶体的(110)面的交线上不存在电子，交线两侧波函数恰好相反，涉及到的晶体学图像如下图2所示。

图2 Ba2CaCu2Tl2O8的晶体学信息汇总

当我看到得出图像时，我首先想到一个问题是它和Tl2Ba2CaCu2O8的空间群I4/mmm似乎矛盾的，正如我昨晚睡觉前公开发布的札记中所写，因为图1中的图像明显看出波函数是4次反演对称，可是从空间群看到的是四次正常旋转对称。昨晚躺在床上我继续回想这个问题，终于，我明白了问题的关键所在，也认识到自己犯的这个初级错误：I4/mmm所代表的并非如乍一看的那样I4/(mmm)--即主轴上的4次旋转对称加三个轴上的镜面对称。而应该是I(4/m)mm--即主轴上的4次反映旋转对称加上另外两个轴上的镜面对称！ 4/m 属于improper rotation axis也叫rotoreflection or rotary reflection axis，它一定是作为一个整体描述对称性的，而绝不包含4次正常旋转对称！（相反，却包含着4次反演对称！）--想到这点时遥遥想起5年前南策文老师在《材料学基础》课堂上抑扬顿挫地讲过同样意思的一句话，我也谨记于心，但实践中碰到这样的例子却犯糊涂了，惭愧！也可能是以前做过的材料系统没有碰到过这样的例子，映转轴还是第一次实践，但愿我不会再在映转轴上犯同样的错误。。。。。闲话不扯，回到正题：正常旋转对称和映转对称的差别表现在图1中的这个实例，立马体现出这种差别：反演旋转轴意味着主轴垂直的任何面上均是反演旋转对称而不是正常旋转对称，也就是说，从对称性的角度，图1中的波函数图像与晶体学空间群信息是不矛盾的，这里顺便对我札记中的提问1做一下纠正--即云平的波函数图像尽管有理想化的近似和简化，但不存在这个基本的对称性错误。

说到这里，让我们对这个映转轴的图像详细认识一下：
I)、4/mmm 对称性的图示如图3的动画所示(声明一下，图3不是我原创，而是来自于 http://sess.pku.edu.cn/persons/qinshan/disk/PointGroup_Gif/ )，

图3 4/mmm点群动态图示

II)、第139号空间群I4/mmm的全部量化的对称性操作供参考。

Equivalent positions:
0        0        0
1/2        1/2        1/2
+
1        x        y        z       
2        -x        -y        -z       
3        -y        x        z       
4        y        -x        -z       
5        -x        -y        z       
6        x        y        -z       
7        y        -x        z       
8        -y        x        -z       
9        -x        y        z       
10        x        -y        -z       
11        y        x        z       
12        -y        -x        -z       
13        x        -y        z       
14        -x        y        -z       
15        -y        -x        z       
16        y        x        -z       

Existing Conditions:
Of the Bravais lattice:
h+k+l=2n

Equivalent Reflections:
1          h          k          l         
2          -h          -k          -l         
3          k          -h          l         
4          -k          h          -l         
5          -h          -k          l         
6          h          k          -l         
7          -k          h          l         
8          k          -h          -l         
9          -h          k          l         
10          h          -k          -l         
11          k          h          l         
12          -k          -h          -l         
13          h          -k          l         
14          -h          k          -l         
15          -k          -h          l         
16          k          h          -l         

笔者注：本文的原创材料和图片可无偿供相关研究人员或学生学习研讨之用，但请切勿在作者未被告知的情况下用作他途。Produced by  handsomeland（大陆）