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主题：【原创】请教关于最小二乘法的部分问题

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智慧的弟弟

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发表于：2009/11/15 01:43:29 楼主管理分享倒序浏览只看楼主回复私聊

当被测量X的估计值是由实验数据通过最小二乘法拟合的直线或曲线得到时，则任意预期的估计值，或拟合曲线参数的标准不确定度均可以利用已知的统计程序计算得到。
一般说来，若寻求两个物理量X和Y之间的关系问题，且估计x和y之间有线性关系y=a+bx。对x和y，独立测定n组数据，其结果为（x1，y1）、…（xn，yn），且n＞2.同时假定x测量不确定度远小于y的测量不确定度（即x的测量不确定度u（x）可以忽略不计），则可利用最小二乘法得到参数a，b（拟合直线方程的截距和斜率）以及他们的标准不确定度u（a）和u（b）。
由于测定的yi存在误差，因而通常y≠a+bxi，于是y=a+bx的误差方程可以写为：

v1=y1-（a+bx1）
v2=y2-（a+bx2）
…
vn=yn-（a+bxn）
将以上各等式两边平方后相加，可得残差vi的平方和为

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2009/11/15 1:51:44 沙发管理分享倒序浏览只看楼主回复私聊

由于本人学的高等数学都还给大学数学老师了

所以对以上存在两个疑问：

1.为什么必须使式（1）中a和b的偏导数为零，才能使残差V_i的平方和达到最小？

2.对式（2）和（3）的求解过程搞不懂，具体怎么来的？为什么两个不一样？

求大家帮忙解答，谢谢！

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2009/11/15 10:23:40 板凳管理分享倒序浏览只看楼主回复私聊

原文由 独行的智慧(tanghuizhi01) 发表:
由于本人学的高等数学都还给大学数学老师了

所以对以上存在两个疑问：

1.为什么必须使式（1）中a和b的偏导数为零，才能使残差V_i的平方和达到最小？

2.对式（2）和（3）的求解过程搞不懂，具体怎么来的？为什么两个不一样？

求大家帮忙解答，谢谢！

解答：
（1）残差应该对应于实验点到拟合直线上的“理论值”的差异（误差），如果所有实验点完全在拟合直线上，差异为零，实际当中不可能做到，但拟合的原则就是让所有实验点尽可能接近或落在拟合直线上，因而残差平方和应为零，数学处理上就是求极值的问题：一阶导数为零。
（2）这是一个多项式求导和平均值代换的问题，用到的数学公式形式如下：