主题：【讨论】纳米薄层的边缘检测

原文由 tevis(tevis) 发表:
Your explanation is very insighful to me, thanks!
Why image intensity is the convolution of beam intensity and top-hat function, not multiplication?

From your expalantion of diffusion, my understanding is that the concentration profile can be described by the error function, rather than adding an error term to the Fick's law. Is that correct?

原文由 蓝莓口香糖(drizzlemiao) 发表:
误差函数其实就是高斯函数和台阶函数的卷积。如果假设样品的成分相对于电子束斑足够小，就可以用台阶函数近似势场分布。然后用高斯函数近似束斑强度分布，图像强度就是误差函数。
扩散理论里面的误差函数导出是完全另一回事。假设起始时刻成分偏聚是个脉冲函数，发生扩散后，成分分布就是个高斯函数。对于一端偏聚的情况，偏聚部分可以看作是一系列脉冲函数的集合，因此某时刻某个位置的浓度就是这一系列脉冲偏聚在该时刻该位置浓度的加和，这其实就是高斯分布和台阶函数的卷积过程。所以也会出现一个误差函数。

你还是没明白我开始想和大家交流的sub-pixel accuracy 是如何来的, 或许你只是现在开始想强调resolution.

我想问你对resolution limit 的看法. 你所知道的STEM的resolution是多少. 你为何认为我是在讨论resolution.

你也没明白Fick's law 的解为何是个erf, 或许也不明白微分方程.

还在强调你所认为的erf 的积分区间.

HRSTEM 的Z-contrast 你也不明白, 更不明白从中如何确定diffusion length 以及通过EDX的比较来尝试从图像强度到浓度分布的工作.

1nm左右的材料更迭MBE制备对你是太偏了, diffusion length 和dimension 的关系也不是你所简单理解的f>>L.

你也没明白蓝莓给你的解释, 交流是好事, 但最好先多了解清楚内容再开始,

如果仅凭想像, 感觉, 有问题又不去学习,会让大家都扫兴. 大家的解释不可能为你而面面俱到.

还什么beam intensity convoluted with top-hat function, 下面的图或许对你理解HAADF image 有点用.

tevis说的并不完全错。

样品下表面的出射波函数的确是probe 的波函数和样品透射函数相乘。不管是TEM还是STEM中都是一样的。

但是在ADF-STEM中，得到一个类似非相干成像的卷积关系并不是非常直观的过程。到因为探测器是在倒空间，从倒空间记录的强度关联到实空间的图像并不是一个简单直观的过程，这一点和TEM及共聚焦显微镜不一样

TEM中，入射束是平面波，穿过样品后入射波和样品透射函数相乘得到出射波，傅里叶变换到衍射平面，再乘以物镜传递函数（光阑及像差导致的相移)，再次傅里叶变换到实空间，傅里叶空间两函数相乘及为实空间两部分卷积(仪器点扩散函数与物体透射函数的卷积)，得到的像为卷积后的强度，非相干情况下为透射函数的强度再卷积点扩散函数。

共聚焦模式下，虽然入射波为聚焦的波束（Deltra函数卷积condenser lens的点扩散函数），但是再次通过物镜后到达像平面，因此也可以很直观的写成物体透射函数卷积condenser lens 点扩散函数再卷积objective lens点扩散函数。 或者非相干下先得到强度在卷积。

以上两种情况的卷积都是非常清晰的。但是在STEM模式下，探测器是在倒空间，将倒空间记录的波函数振幅转换为实空间的图像强度，并不是一个非常直观的过程。也并不直接导致非相干，主要和探测器有关。需要对探测器积分，对于较小的BF detector,可以得到相干像，而对于ADF detercotr,最后到类似非相干的衬度（上图给出的公式），不是一个非常简单的过程，需要一些推导，最后卷积的也不是原始的样品透射函数，而是一个被sharply peaked 的透射函数, 具体可以看一下Peter Nellist的文章。

原文由 tevis(tevis) 发表:
Your explanation is very insighful to me, thanks!
Why image intensity is the convolution of beam intensity and top-hat function, not multiplication?

From your expalantion of diffusion, my understanding is that the concentration profile can be described by the error function, rather than adding an error term to the Fick's law. Is that correct?

从数学上，图像形成过程中的卷积关系是很容易理解的。对于任何信号转换系统，采样过程对于原始信息都会带来畸变。信号的分辨率决定于其在频率空间的频谱分布。把原始信息在频率空间以频谱的形式表达出来，采样机构造成的信息畸变就是在频谱上乘以一个某种形式的滤镜，这是一种相乘关系，相乘后得到的频谱决定了输出信号的分辨率。对于STEM实验，样品是原始信息，图像是输出信息，电子束就是采样过程的基础（粗略地可以先认为二者等同）。我们看到的都是正空间的图像，正空间和频率空间是傅立叶变换的关系。乘法运算经过傅立叶变换后就是卷积。
从物理过程上来理解。由于电子束分辨能力有限，样品上的一个点在图像上总是会变成一个圆盘。整个图像就是很多个互相重叠的圆盘拼凑起来的。用铅笔在图上随便点一下，所有穿过这个点的圆盘对这一点的图像都有贡献，需要把这些分量加起来才是实际的图像强度。在图上每个点都做这种加和，这个过程就是卷积，不是简单的乘法运算。

原文由 tevis(tevis) 发表:
Your explanation is very insighful to me, thanks!
Why image intensity is the convolution of beam intensity and top-hat function, not multiplication?

From your expalantion of diffusion, my understanding is that the concentration profile can be described by the error function, rather than adding an error term to the Fick's law. Is that correct?

是的。误差函数表达的是扩散后浓度的空间，是菲克方程的解。虽然叫作误差函数，但是它并不是一个误差修正项。

谢谢讨论，这是一个非常有意思的话题。

理解错了,还得帮着修饰.诲人不倦, 敬佩.

这些看似最基本的内容, 还会有人在理解上产生偏差, 或许是表达方式的不同.

FEG 和 Cs-corrector 已是个很大的提高. 听说0.4埃的已形成.

回到出发点, 希望大家在相似的测量方面多多探讨. 做定量分析时, 大家对detector linescan 有何心得?



 

也许我理解错了，但是我不觉得这是一个显而易见的过程。

正如tevis原先的疑问，如果入射波函数 p(r), 物体透射函数 t(r), 出射波
是一个点乘， p(r) dot t(r)

傅里叶变换到衍射面，两者变成卷积 p(k) conv t(k), 但是从形式上看 和通常
线性图像系统的卷积不一样，因为通常的卷积是实空间 t(r) conv psf (r).
但是这里的形式不一样。如果非要强调发生在实空间的卷积， 实际上是
detector， HAADF detector是一个倒空间高通滤波函数 s(k), 倒空间可以直接写成与波函数点乘
[p(k) conv t(k) ] dot s(k)
如果直接做福利叶变换    在实空间得到
[p(r) dot t(r)] conv s(r)

因此实空间一个非常明显的卷积 是卷积 detector在实空间的形式 s(r).

因为信号探测是在倒空间，将信号转换为实空间的图像，我不清楚数学上应该如果处理，
但是看了蓝莓的帖子，我想一个可能的处理方式是
实空间probe 扫描，如果probe 不在原点而在R0处， probe function 实空间写成 P(r-R0)
傅里叶变换后导致一个额外的相移 exp[i*2pi*k*R0], 因为需要对所有的R0求和，这个相因子
正好形式上是一个傅里叶变换，因此将信号转换到实空间（我不是很确信这种处理是不是正确）

另外扫描记录的各点 时间上是不同的，因此可能不能对 波函数傅里叶变换，只能先求振幅类似于
对图像做变换。

但是变换完后 实空间形式是

FT{abs[p(k) conv t(k)]} conv s(r)

但是第一部分倒空间卷积的关系仍然不能直接得到实空间卷积的关系，此外由于在倒空间已经用
振幅做傅里叶变换， 可能实空间得到的不是静电势的分布，而是自关联函数。当然由于采样空间
比较小，自关联函数和静电势分布没有太大区别。如果需要得到实空间的和probe intensity的卷积关系，
需要进一步的近似。

如果你可以非常轻松明了的的得到 实空间probe intensity和物函数卷积的关系，欢迎讨论。

也非常感谢蓝莓的讨论，从图像到物体作为一个线性图像系统写出输入输出卷积的关系的确是一个很直观的非常好的思路，只是我不确信记录的图像和物体之间是不是一个线性图像的关系，即能否写成卷积的关系，以及成像系统点扩散函数的具体形式。我更倾向于在不做近似的情况下，可能不是一个线性系统。

原文由 perpetualcat68(perpetualcat68) 发表:
理解错了,还得帮着修饰.诲人不倦, 敬佩.

这些看似最基本的内容, 还会有人在理解上产生偏差, 或许是表达方式的不同.

FEG 和 Cs-corrector 已是个很大的提高. 听说0.4埃的已形成.

回到出发点, 希望大家在相似的测量方面多多探讨. 做定量分析时, 大家对detector linescan 有何心得?

 

论坛里好象有Kirkland的书,讲得很清楚.　CTEM, STEM, ADF-和BF-detector的机制也有提及.

为何采取线性近似等也有解释.大家的基础都来自这些专业书和文献,老师的讲课和实践.

我想说的是,即便将这些大师们的所述翻来覆去地表达,还是存在各人理解上的偏差.

我想请教大家对ADF-detector的处理心得,从中可以增进了解，解除自己的疑惑．

原文由 perpetualcat68(perpetualcat68) 发表:

论坛里好象有Kirkland的书,讲得很清楚.　CTEM, STEM, ADF-和BF-detector的机制也有提及.

为何采取线性近似等也有解释.大家的基础都来自这些专业书和文献,老师的讲课和实践.

我想说的是,即便将这些大师们的所述翻来覆去地表达,还是存在各人理解上的偏差.

我想请教大家对ADF-detector的处理心得,从中可以增进了解，解除自己的疑惑．

无语，以前数次兴冲冲地测了个东西，讨论会上没秀完就被老师赶下台，唉，原来起点就错了, 人生如梦啊。

STEM-ADF 的非相干成像理论，  最直观的是入射束是非相干束， 很自然得到Probe intensity 卷积 object function。 但是实际入射的是相干光。 Nellist提到过，还有一种情况是样品自发光，这样的辐射根据Rayleigh 原理 可以解释为非相干成像。 但是 他也指出STEM中实际上也不是自发光，而是相干光入射， 最后的相干度实际是由detector来决定的。kirkland书里在线性图像近似那一章并没有详细解释如果从这一相干照明到由detector控制的非相干成像的过程。除了Peter Nellist外, Prof. Cowley在他的diffraction physics 书里也详细推导了这一过程。

不过其实这个也不重要，通常做模拟的时候. 不管是 用multislice, Bloch wave 还是 frozen phonon model， 肯定是用相干波函数入射处理动力学衍射，不会直接拿 probe intensity做卷积。非相干成像的主要应用应该是解释HAADF像的衬度非反转，还有一个就是对图像退卷积。

另外我前面有个错误，倒空间信息转换为实空间图像不该做傅立叶变换，应该只对detector各点强度积分就可以。