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核磁共振技术（NMR）
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主题：【讨论】tcxuefeng读书笔记——角动量算符的引入

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tcxuefeng
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发表于：2012/08/25 11:28:01 楼主 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
        之后几章我会陆续介绍一些核磁量子力学方面的概念，也为我9月中旬在扬州大学举办的核磁群内部交流会的报告做一个准备。如果大家想对核磁原理有一个更深入理解的话，可翻阅一些更专业的书籍，因为水平有限，时间有限，我无法给出每一个符号确切的解释和推导。事实上，对于绝大多数核磁应用者而言，这部分知识并没有必要去深究，但是如果大家感兴趣的话，可以顺着我的笔记做一个粗略的了解。
        为了简化讨论过程，我后面所有内容的研究对象都是我们平常见的最多的1/2核(如H1核)
        我们知道，对于1/2核而言，有+1/2和-1/2两种自旋状态。很多教科书上都提到，这是两种仅有的取向，但是这一结论是错的。真实情况时，H1核所处的自旋状态可以是这两种状态的线性叠加，而这一取向是无穷多的，而+1/2和-1/2被认为是1/2核的两个Zeeman eigenstates(Zeeman本征态)，被表示如下

        而1/2核用|ψ﹥表示如下

        只要满足
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2012/8/25 11:56:01 沙发 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
    |ψ﹥这一符号实际上是有其相应的数学意义的，被称作为“右矢”。我们可以简单将其理解为函数ψ(x)
    与  |ψ﹥ 相对应的﹤ψ|为“左矢”，表示的是ψ*(x)，即为ψ(x)的右矢共轭矢量。比如某 |ψ﹥方程为ax+ibx，那﹤ψ|则为ax-ibx
    这一表示方法被称为狄拉克符号，如果以'bra-ket’形式给出(﹤m|n﹥)数学意义如下

    这里我就不再深入下去了。事实上在核磁理论中 ﹤m| n﹥的取值很多时候都是很特殊的(1或0)
    而(|ψ﹥﹤ψ|)也是有意义的，我们后面会看到在密度算符的推导中这一表示会大量出现。
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2012/8/25 12:25:43 板凳 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
        说一下角动量的引入。
        为了描述分子在三维空间随时间的自由旋转运动，我们采用了如下方程

        其中x,y,z是空间坐标，t为时间变量。而围绕此方程，我们引入了角动量算符*

        其中


        y,z同样。上面算符的给出我们并没有必要去深究，重要的是通过推导，我们发现了如下的规律

        只需稍加变换，我们围绕角动量算符定义了旋转算符

        旋转算符的意义在于，它规定了向量在空间的旋转。其中x,y,z为旋转所围绕的轴,β为围绕此轴向量旋转的角度。举例说明，代表的是围绕+x方向90度的旋转(如下图)

        大家可能会好奇，是什么围绕x方向旋转呢？这正是算符的特殊之处——它只是规定的一种物理变换，就像加减乘除一样，本身没有任何取值。但是如果我们在其后面跟上一个实际物体空间坐标方程ψ(x,y,z,t)，那么这一旋转就有了”依靠“。

*注：使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符。在物理学里，算符是一个函数，作用於物理系统的物理态 (physical state)，使这个物理态变换为另外一个物理态。
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2012/8/25 12:28:01 Last edit by tcxuefeng
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2012/8/25 13:31:25 马扎 管理 分享 倒序浏览 只看楼主 回复 私聊
        为什么要引入算符系统对量子系统进行描述呢？因为大部分情况下我们无法得到精确描述原子核的方程，但是我们却欣喜的发现，这些自旋核所处的状态是有规律可循的，通过一些外界变换（算符），我们可以直接”看“到自旋核的最终状态。就好像生活中我们可以自由控制身体来完成各种动作，却不必关心也无从知晓控制这些行为的生化反应过程一样。
        为了区别前面广义的角动量算符，我们以符号I代替前面的L来描述自旋核的角动量。同样地

        而对于任意自旋数为I的核

        其中

        对于1/2核而言
       
        可见，对于|α﹥和|β﹥，Iz这一算符并不会对|α﹥和|β﹥所处的自旋状态带来任何影响(事实上±1/2被称作特征值，所描述的是这一系统所处的能量状态)。但是另外两种算符却会对系统自旋状态产生影响

        其中

        通过数学变换，我们最终可以将这些抽象的算符表示用矩阵形式来替代。对于1/2核而言

        而它们各自所对应的旋转算符为

        以上即为1/2核角动量算符及旋转算符的矩阵表示，将被大量应用到我之后对于核磁各种现象的描述中来。
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